I. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

LT-VD 1 trang 105 sgk toán 11 cánh diều

Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh hai mặt phẳng song song.

Đáp án:

Mặt bàn và nền nhà; mặt sàn của nhà nhiều tầng; các mặt bậc cầu thang;...

II. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT

LT-VD 2 trang 106 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P, I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB, AM, AN, AP. Chứng minh rằng (IJK) // (BCD). 

Đáp án:

+) $\triangle APN$ có JK là đường trung bình => JK // PN

    Mà $NP\subset (BCD)$ => JK // (BCD) 

+) $\triangle AMP$ có IK là đường trung bình => IK // MP

     Mà $MP \subset  (BCD)$ => IK // (BCD)

• (IJK) // (BCD) 

LT-VD 3 trang 108 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a cắt hai mặt phẳng trên theo thứ tự A, B. Đường thẳng b song song với đường thẳng a và cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại A', B'. Chứng minh rằng AB = A'B'. 

Đáp án:

Giả sử (R) = (a, b).

+) $A,A' \in  (R)$ và $A.A' \in  (P) $=> $(R) \cap  (P) = AA’$

+) Tương tự : $(R) \cap  (Q) = BB’$.

+) (P) // (Q); $(R) \cap  (P) = AA’$; $(R) \cap  (Q) = BB’ $=> AA’ // BB’

+) AB // A’B’ và  AA’ // BB’ => AA’B’B là hình bình hành => AB = A’B’

III. ĐỊNH LÍ THALÈS

LT-VD 4 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Bạn Minh cho rằng: Nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A', B', C' thì... Phát biểu của bạn Minh có đúng không? Vì sao?

Đáp án:

( P) // (Q) // (R) => $\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{AC}{A’C’}$ hay $\frac{AB}{BC}=\frac{A’B’}{B’C’}=\frac{AC}{A’C’}$
=> Minh phát biểu đúng

BÀI TẬP CUỐI SGK

BT 1 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) luôn song song với (Q). Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao? 

Đáp án:

Để (P) // (Q) thì cần thêm 1 điều kiện là hai đường thẳng a và b cắt nhau.

• Phát biểu của bạn chưa đúng.

Ví dụ : (P) cắt (Q) (hình vẽ)

BT 2 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A', B', C', D'. Chứng minh rằng A'B'C'D' là hình bình hành.

Đáp án:

+) a // d => AA’ // DD’ mà DD’  ( D’C’CD) => AA’ // ( D’C’CD)

+) AB // CD , CD  (D’C’CD) => AB // ( D’C’CD)

+) AA’, AB  ( A’B’BA) và $AA’ \cap  AB = A$ => ( A’B’BA) // ( D’C’CD)
+) $( A’B’BA) \cap  (Q) = A’B’$ ; $(D’C’CD) \cap  (Q) = D’C’$

  => A’B’ // D’C’
+) Chứng minh tương tự: B’C’ // A’D’
=> A’B’C’D’ là hình bình hành.

BT 3 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Lấy $G_{1},G_{2},G_{3}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. 

a) Chứng minh rằng $(G_{1}G_{2}G_{3}) // (BCD)$.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(G_{1}G_{2}G_{3})$ với mặt phẳng (ABD). 

Đáp án: 

a) Gọi M,P,N lần lượt là trung điểm của BC,BD,CD.

+) $\frac{AG_{1}}{AM}=\frac{AG_{2}}{AN}=\frac{2}{3}$ => $G_{1}G_{2} // MN$ mà $MN \subset  (BCD)$ => $G_{1}G_{2} // (BCD)$

+) Chứng minh tương tự ta có : $G_{2}G_{3} // (BCD) $

• $(G_{1}G_{2}G_{3}) // (BCD) $(đpcm)

b) +) $(ABD) \cap  ( BCD) = BD$ ; $(G_{1}G_{2}G_{3}) // (BCD)$

    => $G_{3}$ là 1 điểm chung của (ABD) và $(G_{1}G_{2}G_{3})$

    => $(G_{1}G_{2}G_{3}) \cap  (ABD) = d$ đi qua $G_{3}$ và // BD

BT 4 trang 109 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. 

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC). 

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính AN/NC. 

Đáp án:

a) +) AD // BC , AD ⊄ ( BEC) => AD // (BEC)

   +) AF // BE => AF // ( BEC)

   +) $AD, AF \subset  ( ADF)$ , $AD\cap  AF = A $=> (ADF) // ( BEC)

b) Gọi $AE \cap BF = I $

 +) $BM=\frac{2}{3}BI=\frac{1}{3}BF$ ⬄ FM=2MB

 +) ( ADF) // (P) // (BCE) , 

      FB cắt 3 mặt phẳng tại F,M,B ; AC cắt 3 mặt phẳng tại A,N,C

• $\frac{AN}{FM}=\frac{NC}{MB}$ => $\frac{AN}{NC}=\frac{FM}{MB}=2$