I. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

LT-VD 1 trang 32 sgk toán 11 cánh diều

Hai phương trình x−1= 0 và ... có tương đương không? Vì sao?

Đáp án:

+ ) x-1=0⟺x=1

+) ĐKXĐ: x≠-1

$\frac{x^{2}-1}{x+1}$ <=> $x^{2}-1=0$

<=> $[x=1 (tm)$

       $[x=-1 (L)$

Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương.

LT-VD 2 trang 33 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình: $(x−1)^{2} = 5x−11$

Đáp án:

 $(x−1)^{2} = 5x−11$

⇔ $x^{2} – 2x + 1 – 5x + 11 = 0$

⇔ $x^{2} – 7x + 12 = 0$

⇔ $[x=3$  $x=4$

II. PHƯƠNG TRÌNH SIN X = M

LT-VD 3 trang 34 sgk toán 11 cánh diều

a) Giải phương trình: sin x=…

b) Tìm góc lượng giác x sao cho $sin x=sin55^{\circ}$

Đáp án:

a) $sinx =\frac{\sqrt{3}}{2}$ <=> $sinx=\frac{\pi}{3}$

⟺ [$x=\pi-\frac{\pi}{3}+k2\pi$     $x=\frac{\pi}{3}+k2\pi$      

⟺ [$x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi$   $x=\frac{\pi}{3}+k2\pi$ (k∈Z) 

b) $sinx = sin55^{\circ}$

⟺ [$x=180^{\circ}-55^{\circ}+k360^{\circ}$      $x=55^{\circ}+k360^{\circ}$

⟺ [$x=125^{\circ}+k360^{\circ}$    $x=55^{\circ}+k360^{\circ}$ (k∈Z) 

LT-VD 4 trang 35 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình sin 2x=sin...

Đáp án:

$sin2x = sin(x+\frac{\pi}{4})$

⟺ [$2x=\pi-(x+\frac{\pi}{4})+k2\pi$      $2x=x+\frac{\pi}{4}+k2\pi$

⟺ [$x=\frac{\pi}{4}+k\frac{2\pi}{3}$   $x=\frac{\pi}{4}+k2\pi$ k∈Z

III. PHƯƠNG TRÌNH COS X = M

LT-VD 5 trang 36 sgk toán 11 cánh diều

a) Giải phương trình: $cosx = −\frac{1}{2}$.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho $cosx = (−87^{\circ})$

Đáp án:

a)   $cosx =cos \frac{2\pi}{3}$ ⟺ [$x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi$  $x=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi$ (k∈Z)

b)  $cosx = cos87^{\circ}$ ⟺ [$x=-87^{\circ}+k360^{\circ}$   $x=87^{\circ}+k360^{\circ}$ (k∈Z)

LT-VD 6 trang 37 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình được nêu trong bài toán mở đầu.

Đáp án:

+) $550+450coscos\frac{\pi}{50}t=1000$  

  ⟺ $cos \frac{\pi}{50}t=1$

  ⟺$t=k2\pi.\frac{50}{\pi}=100k$ (k∈Z, t≥0) 

+) $550+450cos\frac{\pi}{50}t=250$

  ⟺ $cos\frac{\pi}{50}=-\frac{2}{3}$

  ⟺ [$\frac{\pi}{50}t \approx 2,3+k2\pi$   $\frac{\pi}{50}t \approx-2,3+k2\pi$ (k∈Z, t≥0)

⟺ [$t \approx \frac{115}{\pi}+100k$      $t \approx -\frac{113}{\pi}+100k$ (k∈Z, t≥0)

+) $550+450cos \frac{\pi}{50}t=100$

  ⟺ $cos\frac{\pi}{50}=-1$    ⟺$\frac{\pi}{50}t=\pi+k2\pi$ k∈Z, t≥0 

   ⟺$t=50+100k$, k∈Z, t≥0  

IV. PHƯƠNG TRÌNH TAN X = M

LT-VD 7 trang 37 sgk toán 11 cánh diều

a) Giải phương trình: tan x = 0.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho $tan x = tan 67^{\circ}$

Đáp án:

a) ĐKXĐ :  $x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$, k∈Z

   $ x =0$⟺$x=k\pi$, k∈Z. 

b) $x = 67^{\circ}$ ⟺$x=67^{\circ}+k180^{\circ}$, (k∈Z).

V. PHƯƠNG TRÌNH COT X = M

LT-VD 8 trang 38 sgk toán 11 cánh diều

a) Giải phương trình: cot x = 1. 

b) Tìm góc lượng giác x sao cho $cot x = cot(−83^{\circ})$. 

Đáp án:

a) $cosx = cos\frac{\pi}{4}$ ⟺$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$, (k∈Z). 

b) $x = -83^{\circ}$ ⟺$x=-83^{\circ}+k180^{\circ}$, k∈Z

VI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

LT-VD 9 trang 39 sgk toán 11 cánh diều

Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)...

Đáp án:

a)  x≈0,201+k2π, k∈Z và x≈π-0,201+k2π, k∈Z.

b)  x≈±1,772+k2π, k∈Z.

c)  x≈0,955+kπ, k∈Z.

BÀI TẬP CUỐI SGK

BT 1 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình…

Đáp án:

a) $sin(2x-\frac{\pi}{3})=sin(-\frac{\pi}{3})$

<=> [$2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+k2\pi $

[$2x-\frac{\pi}{3}=\pi-(-\frac{\pi}{3})+k2\pi$

<=> $x=k\pi$, $x=\frac{5\pi}{6}+k\pi$ ($k\in Z$)

b) $sin(3x+\frac{\pi}{4})=sin(-\frac{\pi}{6})$

<=> [$3x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}+k2\pi $

[$3x-\frac{\pi}{4}=\pi-(-\frac{\pi}{6})+k2\pi$

<=>$x=-\frac{5\pi}{36}+k\frac{2\pi}{3}$ $x=\frac{11\pi}{36}+k\frac{2\pi}{3}$ ($k\in Z$)

c) $cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})=cos\frac{\pi}{6}$

<=> [$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+k2\pi$ 

        [$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}+k2\pi$

<=> [$x=-\frac{\pi}{6}+k4\pi$ 

       [$x=-\frac{5\pi}{6}+k4\pi$ ($k\in Z$)

d) $cos3x=-1 <=> x=-\frac{\pi}{3}+k\frac{2\pi}{3}$ ($k\in Z$)

e) $tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}<=> x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$ ($k\in Z$)

g) $(1+\sqrt{3})cotx=\sqrt{3}+3 <=> cot x=\sqrt{3} <=> x=\frac{\pi}{6}+k\pi$ ($k\in Z$)

BT 2 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình…

Đáp án:

a) [$2x+\frac{\pi}{4}=x+k2\pi$      $2x+\frac{\pi}{4}=-x+k2\pi$

⟺ [$x=-\frac{\pi}{4}+k2\pi$   $x=-\frac{\pi}{12}+k\frac{2\pi}{3}$  ($k\in Z$)

b) $cos3x=cos(\frac{\pi}{2}-2x)$

<=> $[3x=\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi $

       $[3x=-(\frac{\pi}{2}-2x)+k2\pi$

<=> $[x=\frac{\pi}{10}+k\frac{2\pi}{5}$

       $[x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$   ($k\in Z$)

c) $cos4x=cos(2x+\frac{\pi}{3})$

<=>$ [4x=2x+\frac{\pi}{3}+k2\pi $

      $ [4x=-(2x+\frac{\pi}{3})+k2\pi$

<=> $[x=\frac{\pi}{6}+k\pi$

       $[x=-\frac{\pi}{18}+k\frac{\pi}{3}$ ($k\in Z$)

BT 3 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Dùng đồ thị hàm số y = sin x, y = cos x để xác định số nghiệm…

Đáp án:

a) x =-23

Ta thấy đồ thị $y=sinx$  cắt đường thẳng $y = - \frac{2}{3}$ trên khoảng ($-\frac{5\pi}{2};\frac{5\pi}{2}$) tại 5 điểm => phương trình có 5 nghiệm

b) 

Ta thấy đồ thị hàm số y= x cắt đường thẳng y =0 trên đoạn [$-\frac{5\pi}{2};\frac{5\pi}{2}$] tại 6 điểm => phương trình có 6 nghiệm.

BT 4 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40∘ Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

$d(t) = 3sin[ \frac{\pi}{182}.(t−80) ] + 12$ với t ∈ Z và 0 < t ≤ 365. 

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm? 

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Đáp án:

a) $3sin(\frac{\pi}{182}(t-80)) +12=12$

⟺ $sin(\frac{\pi}{182}(t-80))=0$

⟺ $\frac{\pi}{182}(t-80)=k\pi$ 

⟺ $t=80+182k$, (k∈Z) 

{$k\in Z$ ; 0<80+182k≤365 ⟺{$k\in Z$;$-\frac{40}{91}<k<\frac{285}{182}$ ⟺$k\in ^{0;1}$ 

 +) k = 0 => t = 80

 +) k = 1 => t = 262

b) $3sin(\frac{\pi}{182}(t-80)) +12=9$

⟺ $sin(\frac{\pi}{182}(t-80))=-1$

⟺ $\frac{\pi}{182}(t-80)=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$  ($k\in Z$)

⟺ $t=-11+364k$, ($k\in Z$)

{$k\in Z$  ;  0<-11+364k≤365 ⟺{$k\in Z$  ; $\frac{11}{364}<k≤\frac{94}{91}$    ⟺k=1 

 k = 1 => t = 353.

c) $3sin(\frac{\pi}{182}(t-80)) +12=15$

⟺ $sin(\frac{\pi}{182}(t-80))=1$

⟺ $\frac{\pi}{182}(t-80)=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ ($k\in Z$)

⟺ $t=171+364k$,  ($k\in Z$)

{$k\in Z$ ;   0<171+364k≤365 ⟺{k∈Z ; $-\frac{171}{364}<k≤\frac{97}{182}$ ⟺k=0 

  k = 0 => t = 171.

BT 5 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 38). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t ≥ 0) bởi hệ thức h = |d| với $d = 3cos[ \frac{\pi}{3}.(2t−1) ]$, trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m; 0 m?

Đáp án:

 +) h = 3m

  $|3cos[\frac{\pi}{3}(2t-1)]|=3$

<=> $[3cos[\frac{\pi}{3}(2t-1)]=3$

       $[3cos[\frac{\pi}{3}(2t-1)]=-3$

<=> $[\frac{\pi}{3}(2t-1)=k2\pi$

       $[\frac{\pi}{3}(2t-1)=\pi+k2\pi$

<=> $[t=3k+\frac{1}{2}$

       $[t=3k+2$

⟺ [$t \in {\frac{1}{2}; \frac{7}{2}; \frac{13}{2};...}$  $ t \in {2;5;8...} $ 

⟺$t \in {\frac{1}{2}; 2; \frac{7}{2}; 5; \frac{13}{2};8; ...}$

+) h = 0

$|3cos[\frac{\pi}{3}(2t-1)]|=0$

<=> $3cos[\frac{\pi}{3}(2t-1)]=3$

<=> $\frac{\pi}{3}(2t-1)=\frac{\pi}{2}+k\pi$

<=> $t=\frac{5}{4}+\frac{3}{2}k$

<=> $t \in {\frac{5}{4}; \frac{11}{4}; \frac{17}{4};...}$