I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

LT-VD 1 trang 86 sgk toán 11 cánh diều

Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh của một phần mặt phẳng. 

Đáp án:

Nền nhà, mặt ghế,mặt bàn,...

LT-VD 2 trang 87 sgk toán 11 cánh diều  

Vẽ hình biểu diễn của mặt phẳng (P) và đường thẳng a xuyên qua nó. 

Đáp án:

II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LT-VD 3 trang 89 sgk toán 11 cánh diều

Trong Ví dụ 4, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Đáp án:

 +) S  thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). 

+)  $AC \cap  BD = O$ => O thuộc 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD). 

·        SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

III. MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG

LT-VD 4 trang 90 sgk toán 11 cánh diều

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Điểm D không thuộc mặt phẳng (P). Hỏi qua hai đường thẳng AD và BC có xác định được một mặt phẳng không?

 Đáp án:

Giả sử qua 2 đường thẳng AD và BC xác định được mặt phẳng $(\alpha)$ .

+) $A, B, C\in  (P)

+) $A, B, C,D\in  (\alpha)$

·         $(\alpha) \equiv  (P)$, nhưng $D \notin  (P)$ => mâu thuẫn

·        Không xác định được 1 mặt phẳng qua 2 đường thẳng AD và BC 

IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

LT-VD 5 trang 92 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và AD.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng AB, SB. 

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (CMN) với mỗi mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Đáp án:

a) +) Gọi E là giao điểm của BA với CN 

         $NC \subset  (CMN)$ => $AB \cap  ( CMN) = E$

   +) EM kéo dài cắt SB tại F.

        $EM \subset  (CMN)$ => $SB \cap  (CMN) = F$

b)+) $M \in  CM$ => $M \in  (CMN)$;  $M \in  SA$ => $M \in  (SAB)$

        => M là giao điểm của (CMN) và (SAB)

    +) $CN \cap  AB = E$;$CN\subset (CMN)$; $AB \subset  (SAB) $

        => E là giao điểm của (CMN) và (SAB)

        => ME là giao tuyến của (CMN) và (SAB).

   +) $EM \cap  SB = F$; $EM \subset  (CMN) $; $SB \subset (SBC)$

       => F là giao điểm của (CMN) và (SBC)

   +)  $C \in  CM$; $CM \subset  (CMN) $

        $C \in  SC$ ; $SC \subset  SBC$

       => C là giao điểm của (CMN) và (SBC).

       => FC là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).

LT-VD 6 trang 93 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AD, BC...

a) Xác định E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AC, BD với mặt phẳng (MNP).

b) Chứng minh rằng các đường thẳng NE, PF và CD cùng đi qua một điểm.

Đáp án:

a) +) Gọi $E = MP \cap  AC$ 

       $ MP \subset  (MNP) $=> E là giao điểm của AC với (MNP).

   +) Gọi $F = MN \cap  BD$ 

      $ MN \subset  (MNP)$ => F là giao điểm của BD với (MNP).

b)  $NE \cap  CD = I$

+) $I\in CD$=> $I\in (BCD) $ và $I\in NE$=> $I\in (MNP)$

   => I thuộc giao tuyến của (BCD) và (MNP)

+) PF là giao tuyến của (BCD) và (MNP)

    => PF đi qua I

    => 3 đường thẳng EN, FP và CD cùng đi qua điểm I ( đpcm)

BÀI TẬP CUỐI SGK

BT 1 trang 94 sgk toán 11 cánh diều

Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (Hình 28). Công dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích. 

Đáp án:

Công dụng : kiểm tra xem mặt tường đã phẳng chưa.

Áp thước vào mặt tường, nếu thước đó luôn áp sát mặt tường (không bị cập kênh) thì mặt sàn là phẳng.

BT 2 trang 94 sgk toán 11 cánh diều

Hình 29 là hình ảnh của chặn giấy bằng gỗ có bốn mặt phân biệt là các tam giác. Vẽ hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ đó. 

Đáp án: 

BT 3 trang 94 sgk toán 11 cánh diều

Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy. 

Đáp án: 

Giả sử: $a\cap b=C$,$a\cap c=B$,$b\cap c=A$. Sao cho: A, B, C không đồng quy (1)

·        $B \in  a$ và $C \in a$

Mà: $B\in c$,$c\subset (b,c)$; $C\in b,b\subset (b,c )$=> $BC\subset (b,c)$

=> $a\subset (b,c)$

=> a , b, c đồng phẳng => 3 điểm A, B, C trùng nhau => a, b, c đồng quy (đpcm)

BT 4 trang 94 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại O và AB cắt CD tại P. Điểm M thuộc cạnh SA (M khác S, M khác A). Gọi N là giao điểm của MP và SB, I là giao điểm của MC và DN. Chứng minh rằng S, O, I thẳng hàng. 

Đáp án:

+)  $BD \cap  AC = {O}$; vBD \subset  (SBD)$; $AC \subset  (SAC)$;

    => O là giao điểm của (SBD) và (SAC).

    => SO là giao tuyến của (SBD) và (SAC).

+) $MC \cap  DN = {I}$; $MC \subset  (SAC)$; $DN \subset  (SBD)$

    => I là giao điểm của (SAC) và (SBD).

    => SO đi qua điểm I => S, I, O thẳng hàng.

BT 5 trang 94 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao cho MA= 2MS, NS = 2NC. 

a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (ABC).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BMN) với mặt phẳng (ABC).

Đáp án:

a)  $P = AC \cap  MN$ =>  $MN \cap  (ABC) = {P}$

b)  $MN \cap  (ABC) = {P} $=> $P \in  (ABC)$

     $P \in  MN$ , $MN \subset  (MBN)$ => $P \in  (MBN)$

·        P là giao điểm của (ABC) và (MBN).

$B \in  (ABC) $và $B \in  (MBN) $=> B là giao điểm của (ABC) và (MBN).

·        BP là giao tuyến của (ABC) và (MBN).

BT 6 trang 94 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi M là trung điểm của SA. 

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng (SAB). 

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SBC).

Đáp án:

a) Gọi $N = CD \cap  AB $

   $ AB \subset  (SAB) $=> $CD \cap  (SAB) ={N}$

b)  $S \in  (SCD) và S \in  (SAB)$

     $CD \cap  AB = {N}$; $CD \subset  (SCD) $; $AB \subset  (SAB)$ => $(SCD) \cap  (SAB) ={N}$

=> SN là giao tuyến của (SCD) và (SAB)

c) $C \in  (MCD)$ và $C \in  (SBC) $=> $(MCD) \cap  (SBC) ={C}$

    Gọi  $SB \cap  MN = Q $; $MN \subset  (MCD) $và $SB \subset  (SBC)  $

·        CQ là giao tuyến của (MCD) và (SBC).

BT 7 trang 94 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA. 

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng…

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và…

Đáp án:

a)+) $\triangle ACD$ có AI là đường trung tuyến; N là trọng tâm => AI đi qua N

         Mà  $AI \subset  (ABI)$ => $N \in  (ABI)$

   +) $\triangle BCD$ có BI là đường trung tuyến ; M là trọng tâm => BI đi qua M

         Mà $BI \subset  (ABI) $=> $M \in  (ABI)$

b) $\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$; $\frac{NI}{AI}=\frac{1}{3}$=> $\frac{MI}{BI}=\frac{NI}{AI}$=> AB // MN 

   MN // AB =>  $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$

   MN // AB => $\frac{MN}{AB}=\frac{NI}{AI}=\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$

$\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$

c)

+) Gọi $G’ = CP \cap  AM$; $G’’ = DQ \cap  AM$ 

+) Chứng minh tương tự câu b, ta có: 

         QM // AD =>  $\frac{G’’M}{G’’A}=\frac{G’’Q}{G’’D}=\frac{QM}{AD}=\frac{1}{3}$

         PM // AC =>  $\frac{G’M}{G’A}=\frac{G’P}{G’C}=\frac{PM}{AC}=\frac{1}{3}$

    =>  $\frac{GM}{GA}=\frac{G’’M}{G’’A}=\frac{G;M}{G’A}=\frac{1}{3}$

   mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên $G\equiv G’\equiv G’’ $

   => CP, DQ cùng đi qua điểm G (đpcm)

+) Kẻ đường trung tuyến AF của $\triangle ABD$

     P là trọng tâm  $\triangle ABD$ nên $\frac{AP}{AF}=\frac{2}{3}$

+) Kẻ đường trung tuyến AE của $\triangle  ABC$

     Q là trọng tâm $\triangle ABC$ => $\frac{AQ}{AE}=\frac{2}{3}$

·         $\frac{AP}{AF}=\frac{AQ}{AE}$=> EF // PQ

      Mà EF // CD => CD // PQ => $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{QP}{CD}=\frac{QP}{2EF}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$