CHƯƠNG IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG 

SONG

BÀI 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 

I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

LT-VD 1: Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh của một phần mặt phẳng.

Đáp án chuẩn:

Mặt bàn, mặt ghế, nền nhà, ...

LT-VD 2: Vẽ hình biểu diễn của mặt phẳng (P) và đường thẳng a xuyên qua nó. 

Đáp án chuẩn:

II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LT-VD 3: Trong Ví dụ 4, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Đáp án chuẩn:

SO là giao tuyến của hai mặt phẳng

III. MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG

LT-VD 4: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Điểm D không thuộc mặt phẳng (P). Hỏi qua hai đường thẳng AD và BC có xác định được một mặt phẳng không? 

Đáp án chuẩn:

AD và BC không xác định được một mặt phẳng.

IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

LT-VD 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và AD.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng AB, SB. 

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (CMN) với mỗi mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Đáp án chuẩn:

a) E là giao điểm của AB và (CMN); F là giao điểm của SB và (CMN)

b) EM là giao tuyến của (SAB) và (CMN)

CF là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN)

LT-VD 6: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AD, BC sao cho =

a) Xác định E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AC, BD với mặt phẳng (MNP).

b) Chứng minh rằng các đường thẳng NE, PF và CD cùng đi qua một điểm.

Đáp án chuẩn:

a) E là giao điểm của AC với (MNP); F là giao điểm của BD với (MNP)

b) Trong mặt phẳng (ACD), nối NE cắt CD tại I.

PF là giao tuyến của (MNP) và (BCD) => PF đi qua I.

=> NE, PF và CD cùng đi qua một điểm

BT 1: Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (Hình 28). Công dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích.

Đáp án chuẩn:

Công dụng: Kiểm tra xem mặt tường đã phẳng chưa.

Áp thước vào mặt tường, nếu thước đó luôn áp sát mặt tường thì mặt sàn là phẳng

BT 2: Hình 29 là hình ảnh của chặn giấy bằng gỗ có bốn mặt phân biệt là các tam giác. Vẽ hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ đó.

Đáp án chuẩn:

BT 3: Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy.

Đáp án chuẩn:

Chứng minh 3 đường thẳng đồng phẳng. Trái với giả thiết ba đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng

=> Ba điểm A, B, C phải trùng nhau; hay đồng quy

BT 4: Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại O và AB cắt CD tại P. Điểm M thuộc cạnh SA (M khác S, M khác A). Gọi N là giao điểm của MP và SB, I là giao điểm của MC và DN. Chứng minh rằng S, O, I thẳng hàng.

Đáp án chuẩn:

+) SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

+) I là giao điểm của (SAC) và (SBD).

=> Giao tuyến SO của hai mặt phẳng này đi qua điểm I.

Như vậy S, I, O thẳng hàng

BT 5: Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao cho MA= 2MS, NS = 2NC.

a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (ABC).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BMN) với mặt phẳng (ABC).

Đáp án chuẩn:

a) P là giao điểm của MN và (ABC). 

b) BP là giao tuyến của (BMN) và (ABC)

BT 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi M là trung điểm của SA.

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng (SAB). 

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SBC).

Đáp án chuẩn:

a) N là giao điểm CD và (SAB)

b) SN là giao tuyến của (SAB) và (SCD)

c) CQ là giao tuyến của (SBC) và (MCD)

BT 7 : Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và

Đáp án chuẩn:

a)

+) M ∈ BI

+) N ∈ AI

Lại có AI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

b) 

+) MN // AB, ta có:

+) MN // AB, ta có

=>

c)

Chứng minh:

+) các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

+) PQ // CD

=> (Thales)