BÀI 6. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG. HÌNH CHÓP ĐỀU. THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH KHỐI

I. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH LĂNG TRỤ ĐỀU

HĐ1: Cho hình lăng trụ tam giác có các mặt bên là hình chữ nhật ở Hình 80a, 80b. Hãy cho biết mỗi cạnh bên của hình lăng trụ đó có vuông góc với các mặt đáy hay không.

Đáp án chuẩn:

AA'ABC; BB'ABC;CC'ABC.

LT1: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Tính độ dài đường chéo của hình lập phương đó.

Đáp án chuẩn:

a3

II. HÌNH CHÓP ĐỀU. HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

HĐ2: Để tạo mô hình một tháp chuông ở Hình 83a từ một tấm bìa hình vuông, bạn Dũng cắt bỏ phần màu trắng gồm bốn tam giác cân bằng nhau có đáy là các cạnh của tấm bìa (Hình 83b) rồi gấp lại phần màu xanh để tạo thành một hình chóp tứ giác. Quan sát Hình 83a, 83b và cho biết:

a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là tứ giác có tính chất gì;

b) Các cạnh bên của hình chóp đó có bằng nhau hay không.

Đáp án chuẩn:

a) Hình vuông.

b) Các cạnh bên của hình chóp đó bằng nhau.

LT2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Chứng minh rằng các cạnh bên tạo với mặt phẳng chứa đáy các góc bằng nhau.

Đáp án chuẩn:

Chứng minh ∆SOA= ∆SOB (ch – cgv) SAO=SBO 

HĐ3: Khối bê tông ở Hình 87a gợi nên hình ảnh một hình chóp bị cắt đi bởi mặt phẳng (R) song song với đáy. Hình 87b là hình biểu diễn của khối bê tông ở Hình 87a. Hãy dự đoán về mối quan hệ giữa các đường thẳng chứa cạnh A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄.

Đáp án chuẩn:

A1B1; A2B2; A3B3 và A4B4 đồng quy tại một điểm.

LT3: Cho hình chóp đều S.ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, SC. Chứng minh rằng phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) là hình chóp cụt đều.

Đáp án chuẩn:

A'B' là đường trung bình ∆SAB  A'B'//AB

Mà AB⊂(ABC)⇒ A'B'//(ABC)

Cmtt: B'C'//(ABC)

Lại có: A'B'B'C'={B'}

 (A'B'C')//(ABC).

Mà S.ABC là hình chóp đều

=> A'B'C'.ABC là hình chóp cụt đều.

III. THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH KHỐI

HĐ4: Hãy nêu lại công thức tính thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác.

Đáp án chuẩn:

V = S.h

LT4: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB.

Đáp án chuẩn:

V=3a38

LT5: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng a212.

Đáp án chuẩn:

V=a212

LT6: Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.

Đáp án chuẩn:

V=763 (dm2)

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở hình 96b có dạng hình gì?

Đáp án chuẩn:

⦁ Chiếc đèn treo ở Hình 96a là hình lăng trụ lục giác đều.

⦁ Trạm khảo sát trắc địa là hình chóp cụt tứ giác đều.

Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a

a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) 

c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 độ

Đáp án chuẩn:

a) Xét tam giác SAC có: SA2+SC2=AC2 ⇒∆SAC vuông tại S (Pytago đảo)

Mà SA = SC ⇒∆SAC vuông cân tại S

Cmtt: ∆BSD vuông cân tại S.

b) SO⊥AC; SO⊥BD. Mà AC∩BD=O.

⇒SO⊥(ABCD).

c) SA;ABCD=45

Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B'C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC” và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.

Đáp án chuẩn:

a) BD⊥(ACC'A')

Mà BD⊂(BDD'B')⇒(ACC'A')⊥(BDD'B').

b)  dAB;C'D'=a7.

Bài 4. Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh là 15 cm, 15cm và 6cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó 

Đáp án chuẩn:

V=1 350 (cm3)

Bài 5. Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao 10 cm và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 12 cm. Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là 3 g/cm²

Đáp án chuẩn:

m = 2 160 (g).

Bài 6. Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều. Tính theo a thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a 

Đáp án chuẩn:

V=a326.

Bài 7. Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Đáp án chuẩn:

40 538 432 (đồng)