BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG

I. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1: Hai vách ngăn tủ trong Hình 45 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Các góc nhị diện đó có phải là góc nhị diện vuông hay không?

Đáp án chuẩn:

Các góc nhị diện đó có phải là góc nhị diện vuông 

LT1: Nêu ví dụ trong thực tế minh họa hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc.

Đáp án chuẩn:

Mặt tường vuông góc với sàn nhà, mặt ngang vuông góc với mặt đứng của bậc thang, ...

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ2: Nền nhà, cánh cửa và mép cánh cửa ở Hình 48 gợi nên hình ảnh mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) và đường thẳng a nằm trên mặt phẳng (P). Quan sát Hình 48 và cho biết:

a) Vị trí tương đối của đường thẳng a và mặt phẳng (Q);

b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vuông góc với nhau không.

Đáp án chuẩn:

a) Vuông góc 

b) Vuông góc 

LT2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD).

Đáp án chuẩn:

BD⊥SAC mà BD ⊂SBD =>  (SBD)⊥(SAC)

III. TÍNH CHẤT

HĐ3: Cho hình chóp S.OAB thỏa mãn (AOS) ⊥ (AOB), AOS = AOB = 90^o   (Hình 51).

1. Giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB) là đường thẳng nào?
2. Giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB) là đường thẳng nào?
3. Chứng minh SO⊥AOB

Đáp án chuẩn:

a) AO

b)  SO 

c) Ta có: SO⊥OA; SO⊥OB => SO⊥AOB

LT3: Cho tứ diện ABCD có (ABD) ⊥ (BCD) và CD ⊥ BD. Chứng minh rằng tam giác ACD vuông.

Đáp án chuẩn:

Ta có: ABDBCD=BD Mà ABDBCD, CD⊥BD

⇒CD⊥(ABD)⇒CD⊥AD => ∆ACD vuông tại D

HĐ4: Trong Hình 54, hai bìa của cuốn sách gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn. Hãy dự đoán xem gáy sách có vuông góc với mặt bàn hay không.

Đáp án chuẩn:

Gáy sách vuông góc với với mặt bàn.

LT4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ SB, SB ⊥ SC, SC ⊥ SA. Chứng minh rằng:

a) (SAB) ⊥ (SBC);

b) (SBC) ⊥ (SCA);

c) (SCA) ⊥ (SAB).

Đáp án chuẩn:

a) SA⊥SBC mà SA⊂SAB => SABSBC.

b SA⊥SBC mà SA⊂SAC => SACSBC.

c) SB⊥SAC mà SB⊂SAB => SABSAC

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Quan sát ba mặt phẳng (P), (Q), (R) ở Hình 57, chỉ ra hai cặp mặt phẳng mà mỗi cặp gồm hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy sử dụng kí hiệu để viết những kết quả đó.

Đáp án chuẩn:

P R

QR

Bài 2. Chứng minh: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Đáp án chuẩn:

Ta có: a⊥d, b⊥d

 ⇒aOb là góc phẳng nhị diện P, d, Q   

Mặt khác PQ nên góc nhị diện P, d, Q vuông hay aOb=90

=> a⊥ b

Mà a⊥d 

=> a ⊥ (Q)

Bài 3. Chứng minh các định lí sau:

a) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó;

b) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Đáp án chuẩn:

a) Do (P)⊥(R), (Q)⊥(R) và c=(P)∩(Q) => c⊥(R)

b) 

(R)⊥(P), a=(R)∩(P), d⊂(R) và a⊥d, suy ra d⊥(P)

Mà (P) //(Q) nên d⊥(Q) => (Q)⊥(R)

Bài 4. Cho một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đó và vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Đáp án chuẩn:

Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Ta cần chứng minh: tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và chứa d.

Chứng minh tính tồn tại mặt phẳng (Q)

Chứng minh tính duy nhất mặt phẳng (Q)

=> Tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) sao cho d⊂(Q) và (P)⊥(Q).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, tam giác SAB vuông cân tại S. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:

a) SM ⊥ (ABCD);

b) AD ⊥ (SAB);

c) (SAD) ⊥ (SBC).

Đáp án chuẩn:

a) Có AB=(SAB)∩(ABCD)

Ta có: SABABCD;SM⊂SAB, SM⊥AB; (SAB)∩(ABCD)=AB

=> SM⊥(ABCD)

b) Ta có: AD⊥AB, AD⊥SM và AB∩SM=M trong (SAB).

=> AD⊥(SAB)

c) Ta có: SB⊥AD, SB⊥SA và AD∩SA=A trong (SAD).

=> SB⊥(SAD).

Mặt khác: SB⊂(SBC) nên (SBC)⊥(SAD).

Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh cùng bằng a, hai mặt phẳng (A’AB) và (A’AC) cùng vuông góc với (ABC).

a) Chứng minh rằng AA’ ⊥ (ABC).

b) Tính số đo góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC).

Đáp án chuẩn:

a) Ta có: (A’AB)⊥(ABC); (A’AC)⊥(ABC);(A’AB)∩(A’AC)=AA’.

=> AA’⊥(ABC).

b) 45