BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN

I. ĐỊNH NGHĨA

LT-VD 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = −6, u₂ = −2. 

a) Tìm công bội q

b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó

Đáp án chuẩn:

a)  

b) ; .

LT-VD 2: Cho dãy số (un) với u_n = 3.2ⁿ ( n≥1 ). Dãy (u_n) có là cấp số nhân không? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

Dãy là cấp số nhân có và

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

LT-VD 3: Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc và lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm)

Đáp án chuẩn:

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

LT-VD 4: Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3,−6,12,−24,... với n = 12

b) 1/10, 1/100, 1/1000 với n = 5

Đáp án chuẩn:

a)  

b)  

BT 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) 5; −0,5; 0,05; −0,005; 0,0005

b) −9, 3, −1, 1/3, −1/9

c) 2, 8, 32, 64, 256

Đáp án chuẩn:

a) dãy trên là cấp số nhân với và

b) dãy trên là cấp số nhân với và

c) dãy trên không là cấp số nhân

BT 2: Chứng minh mỗi dãy số (u_n) với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a)

b)

c)

Đáp án chuẩn:

a) Xét:

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

b) Xét:

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

c) Xét:

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

BT 3: Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u_n = −5, công bội q = 2. 

a) Tìm u₉. 

b) Số −320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Đáp án chuẩn:

a)

b) số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

c) số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân

BT 4: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, u₃ = 27/4

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên

Đáp án chuẩn:

a)

+ Với ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

;

+ Với ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

b)   

BT 5: Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi u_n là dân số của tỉnh đó sau n năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020

Đáp án chuẩn:

a) (triệu dân)

b) (triệu dân)

BT 6: Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng. 

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng. 

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Đáp án chuẩn:

a) (triệu đồng); (triệu đồng)

b)

c) (triệu đồng)

BT 7: Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống.

Đáp án chuẩn: