Bài 30 trang 54 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. 128; – 64; 32; – 16; 8.

B.  $ \sqrt{2}$; 2; $ 2\sqrt{2}$; 4;  8 .

C. 5; 6; 7; 8; 9.

D. 15; 5; 1; $ \frac{1}{5}$; $ \frac{1}{25}$ . 

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta có:

+ Đáp án A: $ \frac{-64}{128}=\frac{32}{-64}=\frac{-16}{32}=\frac{8}{-16}=\frac{-1}{2}$ , do đó dãy số 128; – 64; 32; – 16; 8 lập thành  một cấp số nhân có công bội $ \frac{-1}{2}$.

+ Đáp án B: $ \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\neq 2=\frac{8}{4}$, do đó dãy số $ \sqrt{2}$; 2; $ 2\sqrt{2}$; 4;  8 không phải cấp số nhân.

+ Đáp án C: $\frac{6}{5}\neq \frac{7}{6}$, do đó dãy số 5; 6; 7; 8; 9 không phải cấp số nhân.

+ Đáp án D: $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\neq \frac{1}{5}$, do đó dãy số 15; 5; 1; $ \frac{1}{5}$; $ \frac{1}{25}$  không phải cấp số nhân.

Bài 31 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. u_n = 5ⁿ.

B. u_n = 1 + 5n.

C. u_n = 5ⁿ + 1.

D. u_n = 5 + n².

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = 5ⁿ là một cấp số nhân.

Thật vậy, ta thấy u_n ≠ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Ta có: u₁ = 5¹ = 5; $ \frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{5^{n}}{5^{n-1}}=\frac{5^{n}}{\frac{5^{n}}{5}}=5$  không đổi với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = 5ⁿ là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 5.

Bài 32 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = – 2. Giá trị u₅ là:

A. – 32.

B. – 16.

C. – 6.

D. 32.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = u₁ . q⁴ = 2 . (– 2)⁴ = 32. 

Bài 33 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Viết bốn số hạng xen giữa các số 1 và – 243 để được một cấp số nhân có 6 số hạng. Bốn số hạng đó lần lượt là:

A. – 3; – 9; – 27; – 81.

B. 3; – 9; 27; – 81.

C. 3; 9; 27; 81.

D. – 3; 9; – 27; 81.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1, công bội q, bốn số hạng xen giữa 1 và – 243 lần lượt là u₂, u₃, u₄, u₅; và số hạng thứ 6 là u₆ = – 243.

Ta có u₆ = u₁ . q⁵ = q⁵ = – 243 = (– 3)⁵, suy ra q = – 3.

Do đó, bốn số hạng cần tìm lần lượt là: u₂ = u₁ . q = 1 . (– 3) = – 3;

u₃ = u₂ . q = (– 3) . (– 3) = 9;

u₄ = u₃ . q = 9 . (– 3) = – 27;

u₅ = u₄ . q = (– 27) . (– 3) = 81.

Bài 34 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), biết u₂ . u₆ = 64. Giá trị của u₃ . u₅ là

A. – 8.

B. – 64.

C. 64.

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u₂ . u₆ = (u₁ . q) . (u₁ . q⁵) = u₁².q⁶

Và u₃.u₅=(u₁.q²).(u₁.q⁴)= u₁².q⁶

Do đó, u₃ . u₅ = u₂ . u₆ = 64.

Bài 35 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số nhân có u₁=$ \frac{1}{3}$; u₈ = 729.

Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:

A. $ \frac{1-3^{8}}{2}$

B. $ \frac{3^{8}-1}{6}$

C. $ \frac{3^{8}-1}{2}$

D. $ \frac{1-3^{8}}{6}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u₈ = u₁ . q⁷ = $ \frac{q^{7}}{3}$ Mà u₈ = 729 nên $ \frac{q^{7}}{3}$=729⇒q⁷=2187.

Vì 2 187 = 3⁷, suy ra q = 3.

Vậy tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:

S8=$ \frac{u_{1}(1-q^{8})}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}.(1-3^{8})}{1-3}=\frac{3^{8}-1}{6}$

Bài 36 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 1. Gọi C₂ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁; C₃ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₂; ... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông C₁; C₂; C₃; ...; C_n; ... Diện tích của hình vuông C₂₀₂₃ là:

A. $ \frac{1}{2^{2022}}$

B. $ \frac{1}{2^{2023}}$

C. $ \frac{1}{2^{1011}}$

D. $ \frac{1}{2^{1012}}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hình vuông C₁ có diện tích S₁ =1

Hình vuông C₂ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁, do đó hình vuông C₂ có diện tích S₂ = $ \frac{1}{2}$S₁=$ \frac{1}{2}$

Tương tự, hình vuông C₃ có diện tích S₃= $ \frac{1}{2}$S2=$ \frac{1}{2}. \frac{1}{2}$=$ \frac{1}{2^{2}}$

Cứ tiếp tục như thế ta tính được diện tích hình vuông C₂₀₂₃ là S₂₀₂₃=$\frac{1}{2^{2022}}$.

Bài 37 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho ba số $ \frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Do ba số $ \frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

$ 1-\frac{2}{b-a}=\frac{2}{b-c}-\frac{1}{b}$

⇔$ \frac{b-a-2b}{b(b-a)}=\frac{2b-(b-c)}{b(b-c)}$

⇔$ \frac{-a-b}{b-a}=\frac{b+c}{b-c}(do\, b\neq 0)$

⇒ (−a−b)(b−c)=(b−a)(b+c)

⇔ – ab + ac – b² + bc = b² + bc – ab – ac

⇔ ac – b² = b² – ac

⇔ 2b² = 2ac

⇔ b² = ac

⇔$ \frac{b}{a}=\frac{c}{b}$

Suy ra ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Bài 38 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm x để ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi

$ \frac{x}{2x-3}=\frac{2x+3}{x}$

⇒ x² = (2x – 3)(2x + 3)

⇔ x² = 4x² – 9

⇔ 3x² = 9

⇔ x² = 3

⇔x=$ \pm \sqrt{3}$

Vậy x=$ \pm \sqrt{3}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Bài 39 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

Lời giải:

a) Ta có u₂ + u₄ = $ \frac{u_{3}}{q}$+u₃q=$ \frac{16}{q}$+16q .

Mà u₂ + u₄ = 40 nên ⇒ 16 + 16q² = 40q

⇔ 2q² – 5q + 2 = 0 

Lại có u₃ = u₁ q² = 16, suy ra u₁ = $ \frac{16}{q^{2}}$.

Với  thì u₁=$ \frac{16}{(\frac{1}{2})^{2}}$=64.

Với q = 2 thì u₁=.$ \frac{16}{2^{2}}=4$

Vậy u₁ = 64, q = $ \frac{1}{2}$  hoặc u₁ = 4, q = 2.

b) Ta có u₁ + u₆ = u₁ + u₁ . q⁵ = 244, suy ra u₁ . q⁵ = 244 – u₁.

Lại có u₂ . u₅ = (u₁ . q) . (u₁ . q⁴) = u₁ . (u₁ . q⁵) = u₁ . (244 – u₁) = 244u₁ – u₁².

Suy ra 244u₁ – u₁² = 243 

Với u₁ = 1 thì q⁵ = 244 – 1 = 243 = 3⁵, suy ra q = 3.

Với u₁ = 243 thì 243q⁵ = 244 – 243 ⇔ 243q⁵ = 1 ⇔q⁵=$ \frac{1}{243}$⇔q⁵=($ \frac{1}{3}$)⁵⇔q=$ \frac{1}{3}$.

Vậy u₁ = 1, q = 3 hoặc u₁ = 243, q=$ \frac{1}{3}$.

c) Ta có 

Lấy (2) chia vế theo vế cho 1, ta được q³ = 27, suy ra q = 3.

Ta có u1 (1 + 3 + 3²) = 13 ⇔ 13u₁ = 13 ⇔ u₁ = 1.

Vậy u₁ = 1, q = 3.  

Bài 40 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số nhân có u₁ + u₅ = 51 và u₂ + u₆ = 102.

a) Tính u₁₀.

b) Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân trên?

c) Số 9 216 có là số hạng nào của cấp số nhân trên không?

Lời giải:

a) Xét số hạng đầu u1 và công bội q. Ta có:

Lấy (2) chia vế theo vế (1) ta được q = 2.

Suy ra u₁ . (1 + 2⁴) = 51 ⇔ 17u₁ = 51 ⇔ u₁ = 3. 

Do đó, u₁₀ = u₁ . q⁹ = 3 . 2⁹ = 1 536.

b) Giả sử số 192 là số hạng thứ k của cấp số nhân (u_n).

Ta có u_k = u₁ . q^{k – 1} = 3  . 2^{k – 1} = 3 . 2^k . $ \frac{1}{2}$  = 192, suy ra 2^k = 128 = 2⁷, suy ra k = 7. 

Vậy số 192 là số hạng thứ 7.

c) Giả sử 9 216 là số hạng thứ n của cấp số nhân (u_n).

Ta có 3 . 2^{n – 1} = 9 216 ⇔ 2^{n – 1} = 3 072.

Do 3 072 chia hết cho 3 mà với n là số nguyên dương thì 2^{n – 1} không chia hết cho 3 nên không tồn tại n thoả mãn.

Vậy số 9 216 không là số hạng nào của (u_n).

Bài 41 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 2, số hạng thứ bảy gấp 32 lần số hạng thứ hai. Tìm các số hạng của cấp số nhân đó.

Lời giải:

Giả sử cấp số nhân đó là (u_n) với n = 7.

Theo bài ra ta có: u₄ = 2 và u₇ = 32u₂.

Ta có u₇ = u₁ . q⁶ và u₂ = u₁ . q, do đó u₁ . q⁶ = 32u₁ . q, suy ra q = 2.

Lại có u₄ = u₁ . q³ = u₁ . 2³ = 8u₁, suy ra 8u₁ = 2 ⇔ u₁ =$ \frac{1}{4}$  .

Do vậy, u₂ =$ \frac{1}{4}$ .2=$ \frac{1}{2}$; u₃ = .2=; u₅ = 2 . 2 = 4; u₆ = 4 . 2 = 8; u₇ = 8 . 2 = 16.

Vậy cấp số nhân cần tìm là: $ \frac{1}{4}$; $ \frac{1}{2}$; 1;  2;  4;  8;  16 .

Bài 42 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Lời giải:

Giả sử công bội của cấp số nhân là q, công sai của cấp số cộng là d, khi đó gọi ba số cần tìm là a, aq, aq². (với a, p ≠ 0)

Theo bài ra ta có: a + aq + aq² = 78 (*); aq = a + 2d; aq² = a + 8d.

Từ aq = a + 2d, suy ra aq – a = 2d ⇔ a(q – 1) = 2d. (1)

Từ aq² = a + 8d, suy ra aq² – a = 8d ⇔ a(q² – 1) = 8d ⇔ a(q – 1)(q + 1) = 8d. (2)

Với q = 1 thì a = aq = aq², mà ba số cần tìm là phân biệt nên q = 1 không thỏa mãn.

Do vậy, q ≠ 1 ⇒ q – 1 ≠ 0, do đó a(q – 1) ≠ 0. Chia vế theo vế của (2) cho (1):

Ta được: q + 1 = 4 ⇔ q = 3.

Thay q = 3 vào (*): a + 3a + 9a = 78 ⇔ 13a = 78 ⇔ a = 6.

Suy ra ba số cần tìm là 6; 6 . 3 = 18; 18 . 3 = 54.

Vậy ba số cần tìm là: 6; 18; 54.

Bài 43 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = – 1, q = 3.

a) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

b) Giả sử tổng m số hạng đầu của (u_n) bằng – 364. Tìm m. 

c) Tính tổng S=$ \frac{1}{u^{1}}+\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{u^{3}}+\frac{1}{u^{4}}+\frac{1}{u^{5}}$

Lời giải:

a) Ta có: S₁₀=$ \frac{u_{1}(1-q^{10})}{1-q}=\frac{(-1).(1-3^{10})}{1-3}=-29524$

b) Ta có: S_m=$ \frac{u_{1}(1-q^{m})}{1-q}=\frac{(-1).(1-3^{m})}{1-3}=\frac{1-3^{m}}{2}$

Mà S_m = – 364, do đó $ \frac{1-3^{m}}{2}$=-364 ⇔ 1 – 3^m = – 728

⇔ 3^m = 729 ⇔ 3^m = 36 ⇔ m = 6.

Vậy m = 6.

c) Dãy $ \frac{1}{u^{1}}+\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{u^{3}}+\frac{1}{u^{4}}+\frac{1}{u^{5}}$ là cấp số nhân với số hạng đầu là u′₁ =$ \frac{1}{u_{1}}=\frac{1}{-1}=-1$ và công bội là q′=$ \frac{1}{q}=\frac{1}{3}$

Suy ra S=$ \frac{1}{u^{1}}+\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{u^{3}}+\frac{1}{u^{4}}+\frac{1}{u^{5}}$

Bài 44 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u­n) biết u₁ = 1, u_n= $ \frac{1}{3u_{n-1}}+1$  với n ∈ ℕ*, n ≥ 2. Đặt v_n=u_n−$ \frac{3}{2}$ với n ∈ ℕ*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của (v_n), (u_n).

c) Tính tổng S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀.

Lời giải:

a) Ta có v₁=u₁−$ \frac{3}{2}$=1−$ \frac{3}{2}$=-$ \frac{1}{2}$

v_n=u_n−$ \frac{3}{2}$ =$ \frac{1}{3}$u_n−1+1−$ \frac{3}{2}$=$ \frac{1}{3}$u_n−1−$ \frac{1}{2}$=$ \frac{1}{3} $(u_n−1−$ \frac{3}{2}$)=$ \frac{1}{3}$v_n−1 với mọi n ∈ ℕ*, n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là cấp số nhân với số hạng đầu v1=−$ \frac{1}{2}$ và công bội q=$ \frac{1}{3}$.

b) Ta có: v_n=v₁.qⁿ⁻¹=−$ \frac{1}{2}$.($ \frac{1}{3}$)ⁿ⁻¹=$ \frac{-1}{2.3^{n-1}}$

Từ v_n=u_n−$ \frac{3}{2}$, suy ra u_n=v_n+$ \frac{3}{2}$=$ \frac{3}{2}$−$ \frac{1}{2.3^{n-1}}=\frac{3.3^{n-1}-1}{2.3^{n-1}}=\frac{3^{n}-1}{2.3^{n-1}}$.

c) Ta có S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀

=(v₁+$ \frac{3}{2}$)+(v₂+$ \frac{3}{2}$)+(v₃+$ \frac{3}{2}$)+...+(v₁₀+$ \frac{3}{2}$)

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₁₀) + $ \frac{3}{2}$.10.

Bài 45 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên 10%. Tính tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng).

Lời giải:

Ta có tiền lương năm thứ nhất của anh Dũng là: 120 triệu đồng.

Tiền lương năm thứ hai của anh Dũng là:

120 + 120 . 10% = 120(1 + 0, 1) = 120 . 1,1 (triệu đồng).

Tiền lương năm thứ ba của anh Dũng là:

120 . 1,1 + 120 . 1,1 . 10% = 120 . 1,1 (1 + 0,1) = 120 . 1,1² (triệu đồng).

Cứ tiếp tục như vậy, ta được tiền lương năm thứ 10 của anh Dũng là 120 . 1,1⁹ (triệu đồng).

Do vậy, tiền lương mỗi năm của anh Dũng nhận được trong 10 năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 120 và công bội q = 1,1.

Khi đó tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là:

Vậy tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là 1 912 triệu đồng.