Bài 47 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n = 5ⁿ – n. Số hạng u_{n + 1} là:

A. 5^{n + 1} – n – 1.

B. 5^{n + 1} – n + 1.

C. 5ⁿ – n + 1.

D. 5ⁿ – n – 1.  

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: u_{n + 1} = 5^{n + 1} – (n + 1) = 5^{n + 1} – n – 1.

Bài48 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2, u_n=$\frac{1}{3}$(u_n-1 + 1)với n ≥  2. Số hạng u₄ bằng:

A. u₄ = 1.

B. u₄= $\frac{2}{3}$

C. u₄= $\frac{14}{27}$

D. u₄= $\frac{5}{9}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có u₂= $\frac{1}{3} $(u₂₋₁+1)=$ \frac{1}{3} $(u₁+1)=$ \frac{1}{3}$ (2+1)=1;

u₃=$\frac{1}{3} $(u₃₋₁+1)=$ \frac{1}{3} $(u₃+1)=$ \frac{1}{3} $(1+1)=$ \frac{2}{3}$

u₄=$\frac{1}{3} $(u₄₋₁+1)=$ \frac{1}{3}$ (u₃+1)=$ \frac{1}{3} $($\frac{2}{3}$+1)=$ \frac{5}{9}$

Bài 49 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:

A. u_n=$ \frac{2}{3^{n}}$

B. u_n=$ \frac{3}{n}$

C. u_n = 2ⁿ.

D. u_n = (– 2)ⁿ.

Lời giải:

Trong các dãy số đã cho, ta thấy dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là dãy số tăng.

Thật vậy, ta có u_{n + 1} = 2^{n + 1} = 2 . 2ⁿ.

Khi đó, u_{n + 1} – u_n = 2 . 2ⁿ – 2ⁿ = 2ⁿ > 0 với mọi n ∈ ℕ*, tức là u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là dãy số tăng.

Bài 50 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là:

A. 1 320.

B. 660.

C. 630.

D. 1 260.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 3 và công sai d = 3.

Khi đó, tổng của 20 số này là: 

Bài 51 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A.   u_n= $ \frac{1}{5^{n}}$

B.   u_n= 1+$ \frac{1}{5^{n}}$

C.   u_n= $ \frac{1}{5^{n}}$+1

D.   u_n= $ \frac{1}{n^{2}}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số (u_n) với u_n=$ \frac{1}{5^{n}}$

Ta có: u₁=$ \frac{1}{5^{1}}$=$\frac{1}{5}$

u_n+1= $\frac{1}{5^{n+1}}=\frac{1}{5^{n}.5}=\frac{1}{5}.\frac{1}{5^{n}}=\frac{1}{5}u_{n}$ không đổi với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n= $\frac{1}{5^{n}}$ là cấp số nhân với số hạng đầu u₁=$\frac{1}{5}$và công bội q=$\frac{1}{5}$

Bài 52 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm và u₂ = 6, u₄ = 24. Tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là:

A. 3(1 – 2¹⁰).

B. 3(2⁹ – 1).

C. 3(2¹⁰ – 1).

D. 3(1 – 2⁹).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử q là công bội của cấp số nhân (u_n) (điều kiện q ≠ 0).

Ta có: u₂ = u₁q = 6; u₄ = u₁q³ = 24, suy ra $ \frac{u_{4}}{u_{2}}=\frac{u_{1}.q^{3}}{u_{1}.q}=q^{2}=\frac{24}{6}=4$

Do đó, q = ± 2.

Mà cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm nên q = 2.

Từ u₂ = u₁q = 6, suy ra u₁ = $ \frac{6}{q}$= 3.

Vậy tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là 

Bài 53 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01 (12 số hạng) bằng:

$ \frac{10^{11}+107}{9}$

$ \frac{10^{12}+98}{9}$

$ \frac{10^{12}+107}{9}$

$ \frac{10^{11}+98}{9}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01

= 1 + (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + ... + (100...0 + 1)

= 12 + (10 + 100 + 1000 + ... + 100...0)

= 12 + (10 + 102 + 103 + ... + 1011)

=12+$ \frac{10.(1-10^{11})}{1-10}$

=$ \frac{108}{9}+\frac{10^{12}-10}{9}$

=$\frac{10^{12}+98}{9}$

Bài 54 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết 

a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng u_{n + 6} = u_n với mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.

Lời giải:

a) Ta có 

Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là: 0; $ -\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) Ta có

 với mọi n ≥ 1.

c) Vì u_{n + 6} = u_n với mọi n ≥ 1 nên

u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₂₇ = 4 . (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆) + u₁ + u₂ + u₃

=  $ -\sqrt{3}$

Bài 55 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) có tổng n số hạng đầu là S_n= $ \frac{n(-1-5n)}{2}$ với n ∈ ℕ*.

a) Tính u₁, u₂ và u₃.

b) Tìm công thức của số hạng tổng quát u­_n.

c) Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng.

Lời giải:

a) Ta có: u₁=S₁=$ \frac{1.(-1-5.1)}{2}$=-3

Vì u₁+u₂=S₂= $ \frac{2.(-1-5.2)}{2}$=-11 nên u₂ = S₂ – u₁ = – 11 – (– 3) = – 8.

Vì S₂+u₃=S₃=$ \frac{3.(-1-5.3)}{2}$=-24 nên u₃ = S₃ – S₂ = – 24 – (– 11) = – 13.

b) Ta có: u_n = S_n – S_{n – 1} =

=$ =\frac{-n-5n^{2}-(n-1)(-1-5n+5)}{2}=\frac{-n-5n^{2}-(-n-5n^{2}+5n+1+5n-5)}{2}=\frac{-10n+4}{2}=2-5n$

Vậy u_n = 2 – 5n.

c) Ta có: , với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là một cấp số cộng.

Bài 56 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 1, u₂ = 2, u_{n + 1} = 2u_n – u_n – 1 + 2 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Đặt v_n = u_{n + 1} – u_n với n ∈ ℕ*. Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số cộng.

c) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

Lời giải:

a) Ta có u₁ = 1, u₂ = 2, u₃ = u_{2 + 1} = 2u₂ – u_{2 – 1} + 2 = 2 . 2 – 1 + 2 = 5,

u₄ = u_{3 + 1} = 2u₃ – u_{3 – 1} + 2 = 2 . 5 – 2 + 2 = 10,

u5 = u_{4 + 1} = 2u₄ – u_{4 – 1} + 2 = 2 . 10 – 5 + 2 = 17.

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 5; 10; 17.

b) Từ công thức u_{n + 1} = 2u_n – u_{n – 1} + 2 suy ra u_{n + 1} – u_n = u_n – u_{n – 1} + 2.

Mà v_n = u_{n + 1} – u_n và v_{n – 1} = u_{n – 1 + 1} – u_{n – 1} = u_n – u_{n – 1}.

Do đó, v_n = v_{n – 1} + 2 với n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu v₁ = u₂ – u₁ = 1 và công sai d = 2.

c) Từ kết quả câu b, ta có: v_n = v₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.

Lại có: v₁ = u₂ – u₁

            v₂ = u₃ – u₂

            ...

            v_{n – 2} = u_{n – 1} – u_{n – 2}

            v_{n – 1} = u_n – u_{n – 1}

Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:

v₁ + v₂ + ... + v_{n – 2} + v_{n – 1} = – u₁ + u_n  

         ⇔$ \frac{(v_{1}+v_{n-1})(n-1)}{2}$=−1+u_n

⇔ (n – 1)² = u_n – 1

⇔ u_n = 1 + (n – 1)².

Vậy u_n = 1 + (n – 1)² và v_n = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ*.

Bài 57 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), biết u₁ = – 2, u_n+1=$ \frac{n+1}{2n}$  với n ∈ ℕ*. Đặt v_n= $ \frac{u_{n}}{n}$với n ∈ ℕ*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của u_n tính theo n.

Lời giải:

a) Ta có v₁=$ \frac{u_{1}}{1}=\frac{-2}{1}$=−2;

v_n+1=$ \frac{u_{n+1}}{n+1}=\frac{(\frac{n+1}{2n}.u_{n})}{n+1}=\frac{1}{2}.\frac{u_{n}}{n}=\frac{1}{2}v_{n}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu v₁ = – 2 và công bội q=$ \frac{1}{2}$.

b) Từ kết quả của câu a) suy ra vn=v1.qn−1=(−2).(12)n−1=−(12)n−2

Từ v_n=$ \frac{u_{n}}{n}$ , suy ra u_n=n.v_n=−n.$ (\frac{1}{2})^{n-2}$ với mọi n ≥ 2.

Bài 58 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Một công ty mua một chiếc máy với giá 1 tỉ 200 triệu đồng. Công ty nhận thấy, trong vòng 5 năm đầu, tốc độ khấu hao là 25%/năm (tức là sau mỗi một năm, giá trị còn lại của chiếc máy bằng 75% giá trị của năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm, 2 năm.

b) Sau 5 năm, giá trị của chiếc máy đó còn khoảng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

a) Giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm là:

1 200 . 0,75 = 900 (triệu đồng).

Giá trị của chiếc máy đó sau 2 năm là:

1 200 . 0,75 . 0, 75 = 1 200 . 0,75² = 675 (triệu đồng).

b) Sau 5 năm, giá trị chiếc máy đó còn là:

1 200 . 0,75⁵ ≈ 285 (triệu đồng).

Bài 59 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.

a) Tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

b) Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Lời giải:

a) Diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, hình thứ hai, hình thứ ba lần lượt là:

$ 1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}; 1-(\frac{8}{9})^{2}=\frac{17}{81};1-(\frac{8}{9})^{3}=\frac{217}{729}$

b) Gọi S_n là diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Ta có: S_n = 1 – $ (\frac{8}{9})^{n}$