Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim$\frac{1}{2^{n}}$=0

B. lim$(\frac{3}{2})^{n}$=0

C. lim$\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}$ =0

D. lim$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{n}$=0

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì limqⁿ = 0 với |q| < 1 nên ta có:

lim$\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}$=lim$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}$=0 do 

lim$\frac{1}{(\sqrt{2})^{n}}$ =lim$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}$=0 do 

lim$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{n}$ = 0 do .

Vậy các đáp án A, C, D đúng.

Vì  nên lim$(\frac{3}{2})^{n}$ ≠0, do đó đáp án B sai.

Bài 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limun = a, lim vn = b. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim(u_n + v_n) = a + b.

B. lim(u_n – v_n) = a – b. 

C. lim(u_n . v_n) = a . b.

D. $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{a-b}{b}$
Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn thì ta thấy đáp án D sai.

Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì lim$\frac{u_{n}}{v_{n}}$  bằng:

A. 0.

B. –∞.

C. +∞.

D. –∞ hoặc +∞.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$=0

Bài 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C > 0 thì $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$  = +∞.

B. Nếu limu_n = −∞ và limv_­n = C, C < 0 thì $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$  = +∞.

C. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$  = 0.  

D. Nếu limu_n = –∞ và limv_n = C, C > 0 thì $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$ =−∞ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo định lí giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực, nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$ = –∞ nên đáp án C sai. 

Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng? 

A. Nếu limu_n = a thì $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$

B. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0 và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$

C. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0.

D. Nếu un ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$ 

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn, nếu u_n ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$

Bài 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $lim\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=0$

Lời giải:

Xét dãy số (u_n) có u_n=$\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$

Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có: 

Do đó, 

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn $\frac{1}{\sqrt{h}}$ thì |u­_n| < h.

Suy ra $lim\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=0$

Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với u_n=$3-\frac{4}{n+1}$, v_n=$8-\frac{5}{3n^{2}+2}$. Tính:

a) limu_n, limv_n;

b) lim(u_n + v_n), lim(u_n – v_n), lim(u_n . v_n), $lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$ .
Lời giải:

a) Ta có

limu_n=lim($3-\frac{4}{n+1}$)=lim3−lim$\frac{4}{n+1}$=3−0=3

limv_n=lim($8-\frac{5}{3n^{2}+2}$)=lim8−lim$\frac{5}{3n^{2}+2}$=8−0=8

b) Ta có

lim(u_n + v_n) = limu_n + limv_n = 3 + 8 = 11;

lim(u_n – v_n) = limu_n – limv_n = 3 – 8 = – 5;

lim(u_n . v_n) = limu_n . limv_n = 3 . 8 = 24;

$lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$=$\frac{limu_{n}}{limv_{n}}=\frac{3}{8}$

Bài 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim$\frac{4n+2}{3}$

b) lim$\frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}$

c) lim$\frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^{n}}$

d) lim(6-$\frac{5}{4^{n}}$)

Lời giải:

a) Vì lim(4n + 2) =  = lim (n . 4) = +∞ và lim3 = 3 > 0.

Do đó, lim$ \frac{4n+2}{3}$=+∞

b) Vì lim(3n + 4)   = lim (n . 3) = +∞

và lim(−5+$\frac{2}{n}$)=lim(−5)+lim$\frac{2}{n}$=−5< 0.

Do đó, lim$ \frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}$=−∞

c) Vì lim(−3+$\frac{1}{n+1}$)=lim(−3)+lim$\frac{1}{n+1}$=-3 và lim5ⁿ = +∞.

Nên lim$\frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^{n}}$=0 

d) lim(6−$\frac{5}{4^{n}}$) =lim6−lim$\frac{5}{4^{n}}$=6−lim(5.$ \frac{1}{4^{n}}$

=6−5lim($\frac{1}{4}$)ⁿ=6−5.0=6

Bài 9 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim$\frac{6n-5}{3n}$

b) lim$\frac{-2n^{2}-6n+2}{8n^{2}-5n+4}$

c) lim$\frac{n^{3}-5n+1}{3n^{2}-4n+2}$

d) lim$\frac{-4n+1}{9n^{2}-n+2}$

e) lim$\frac{\sqrt{4n^{2}+n+1}}{8n+3}$

g) lim$\frac{4^{n}+5^{n}}{3.4^{n}-4.5^{n}}$

Lời giải:

a) lim$\frac{6n-5}{3n}$=$lim\frac{n(6-\frac{5}{n})}{3n}=lim\frac{6-\frac{5}{n}}{3}=\frac{lim(6-\frac{5}{n})}{lim3}=\frac{6}{3}=2$

b) lim$\frac{-2n^{2}-6n+2}{8n^{2}-5n+4}$=$lim\frac{n^{2}(-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^{2}})}{n^{2}(8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^{2}})}=lim\frac{-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^{2}}}=\frac{-2}{8}=\frac{-1}{4}$

c) lim$\frac{n^{3}-5n+1}{3n^{2}-4n+2}$=$lim\frac{n^{3}(1-\frac{5}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}})}{n^{3}(\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}})}=lim\frac{1-\frac{5}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}}{\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}}=\frac{lim(1-\frac{5}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}})}{\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}}=+\infty$

d) lim$\frac{-4n+1}{9n^{2}-n+2}$=$lim\frac{n^{2}(\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}})}=lim\frac{\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}=\frac{lim(\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{lim(9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}})}=\frac{0}{9}=0$

e) lim$\frac{\sqrt{4n^{2}+n+1}}{8n+3}$=$lim\frac{\sqrt{n^{2}(4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})}}{n(8+\frac{3}{n})}=lim\frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{8+\frac{3}{n}}=\frac{lim(\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}})}{lim(8+\frac{3}{n})}=\frac{\sqrt{lim(4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})}}{lim(8+\frac{3}{n})}=\frac{\sqrt{4}}{8}=\frac{1}{4}$

g) lim$\frac{4^{n}+5^{n}}{3.4^{n}-4.5^{n}}$=$lim\frac{5^{n}(\frac{4^{n}}{5^{n}}+1)}{5^{n}(\frac{3.4^{n}}{5^{n}}-4)}=lim\frac{(\frac{4}{5})^{n}+1}{3.(\frac{4}{5})^{n}-4}$

Bài 10 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với u₁=$\frac{5}{4}$,q=$\frac{-1}{3}$.

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.

Lời giải:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với u₁=$\frac{5}{4}$,q=$\frac{-1}{3}$ là:

S=$\frac{u_{1}}{1-q}$=$\frac{\frac{5}{4}}{1-(-\frac{1}{3})}$=$\frac{15}{16}$

b) Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ...

Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; ...lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 0,3 và công bội q=$\frac{1}{10}$< 1. Do đó:

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ... $\frac{0,3}{1-\frac{1}{10}}$=$\frac{1}{3}$

Vậy 2,(3) = 2 + $\frac{1}{3}$=$\frac{7}{3}$

Bài 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h_n là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (h_n).

b) Tính giới hạn của dãy số (h_n) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (h_n).

c) Gọi S_n là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính S_n, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Theo đề bài ta có, h_n=$\frac{1}{4}$h_n-1 nên (h_n) là một cấp số nhân với h₁ =$\frac{1}{4}$.100=25 và công bội q=$\frac{1}{4}$

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (h_n): h_n=u₁qⁿ⁻¹=25.($\frac{1}{4}$)ⁿ⁻¹=$\frac{100}{4^{n}}$ .

b) Ta có: limh_n = lim$\frac{100}{4^{n}}$=lim(100.$\frac{1}{4^{n}}$)=lim100.lim($\frac{1}{4}$)ⁿ=100.0=0

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

c) Ta có: S_n=100+2($\frac{100}{4}+\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}}+...+\frac{100}{4^{n}}+...$)

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: limS_n=100+2($\frac{100}{4}+\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}}+...+\frac{100}{4^{n}}+...$)

Vì $ \frac{100}{4};\frac{100}{4^{2}}+\frac{100}{4^{3}};...\frac{100}{4^{n}};...$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁=$\frac{100}{4}$ và công bội q=$\frac{1}{4}$<1 nên ta có limS_n=100+2.$ \frac{\frac{100}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{500}{3}$

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}$ m.