I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 

1. Định nghĩa 

Luyện tập, vận dụng 1: Chứng minh rằng:

a) $\lim0=0$;

b) $\lim\frac{1}{\sqrt{n}}=0$. 

2. Một số giới hạn cơ bản 

Luyện tập, vận dụng 3: Chứng minh rằng $\lim(\frac{e}{\pi })^{n}=0$. 

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 

Luyện tập, vận dụng 5: Tính tổng $M=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}-$...$+(-\frac{1}{2})^{n-1}+$...

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

Luyện tập, vận dụng 7: Tính $\lim(-n^{3})$. 

Bài tập 1 trang 64 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ với $u_{n}=3+\frac{1}{n}; v_{n}=5-\frac{2}{n^{2}}$. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim u_{n}, \lim v_{n}$.

b) $\lim(u_{n}+v_{n}), \lim(u_{n}-v_{n}), \lim(u_{n}.v_{n}), \lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$. 

Bài tập 3 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: 

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$, với $(u_{n})$, với $u_{1}=\frac{2}{3}, q=-\frac{1}{4}$.

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số. 

Bài tập 5 trang 65 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)

Gọi $u_{n}$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. 

a) Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số $(u_{n})$. 

b) Chứng minh rằng $(u_{n})$ có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn $10^{-6}$ g. 

Hoạt động 1 trang 59 Toán 11 tập 1 CD: Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số ($u_{n}$), với $u_{n}=$ trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị $u_{n}$ khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng $u_{n}$ nào của dãy số thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 tập 1 CD: Cho hai dãy số (u$_{n}$), (v$_{n}$) với $u_{n}=8+\frac{1}{n};v_{n}=4-\frac{2}{n}$

a) Tính limu$_{n}$, limv$_{n}$

b) Tính lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) và so sánh giá trị đó với tổng limu$_{n}$ + limv$_{n}$.

c) Tính lim(u$_{n}$.v$_{n}$) và so sánh giá trị đó với tổng limu$_{n}$.limv$_{n}$.