BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

PHẦN I. HỆ THỐNG BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Cho hai dãy số với . Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) .

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e)
g) .
Bài 3: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn , với .
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.

Bài 4: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 , người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
a) Tính diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ ;
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Bài 5: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( được gọi là chu kì bán rã).
(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021)

Bài 6: Gọi là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ .
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
b) Chứng minh rằng có giới hạn là 0 .
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn .

Bài 7: Gọi là nửa đường tròn đường kính ,
là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính ,
là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính
là đường gồm nửa đường tròn đường kính (Hình 4 ). Gọi là độ dài của là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và đoạn thẳng .
a) Tính .
b) Tìm giới hạn của các dãy số và .

PHẦN II. 5 PHÚT GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:

a)

b)

Bài 2: 

a)

b)

c) .
d) .
e) .
g)

Bài 3:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn , với là:

b) Ta có biểu diễn:  .

Bài 4: 

a) Dãy lập thành cấp số nhân có số hạng đầu và công bội có công thức tổng quát là:
b) Tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).    

Bài 5:

a) Sau n chu kì bán rã, khối lượng chất phóng xạ còn lại là: .
b) Ta có: .
c) Cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720 000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại với con người.

Bài 6: 

a) Ta có
+)

b)