BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG

PHẦN I. HỆ THỐNG BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Quan sát ba mặt phẳng ở Hình 57 , chỉ ra hai cặp mặt phẳng mà mỗi cặp gồm hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy sử dụng kí hiệu để viết những kết quả đó.

Bài 2: Chứng minh: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Bài 3: Chứng minh các định lí sau:
a) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó;
b) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Bài 4: Cho một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đó và vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, tam giác vuông cân tại . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng:
a) ;
b) ;
c) .

Bài 6: Cho lăng trụ có tất cả các cạnh cùng bằng , hai mặt phẳng và cùng vuông góc với .
a) Chứng minh rằng .
b) Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

PHẦN II. 5 PHÚT GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: 

Từ hình ảnh ta thấy hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là và và

⦁ Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau kí hiệu là:

⦁ Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau kí hiệu là:

Bài 2. 

Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau.

Ta cần chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng nằm trong mặt phẳng sao cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Gọi và vuông góc với .

Lấy . Trong mặt phẳng qua kẻ đường thẳng vuông góc với .

Ta có: là góc phẳng nhị diện

Suy ra Mà .

Suy ra a ⊥ (Q).

Bài 3. 

a) Giả sử ta có: gọi

Xảy ra hai trường hợp:

⦁ Nếu , suy ra

⦁ Nếu cắt , gọi . Mà và nên . Khi đó sẽ tồn tại , suy ra

b) 

Giả sử có ba mặt phẳng thỏa mãn và Ta cần chứng minh

Gọi lấy sao cho .

Ta có: và suy ra

Mà nên

Suy ra

Bài 4. 

Cho đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng . Ta cần chứng minh: tồn tại duy nhất mặt phẳng vuông góc với và chứa .

Chứng minh tính tồn tại mặt phẳng

- Xét trường hợp cắt tại .

Lấy sao cho . Vẽ đường thẳng đi qua sao cho

Vì nên ta có

- Xét trường hợp hoặc

Lấy . Vẽ đường thẳng đi qua sao cho

Suy ra .

Vì nên ta có

Chứng minh tính duy nhất mặt phẳng :

Giả sử tồn tại mặt phẳng khác sao cho và .

Ta thấy: .

Mà nên suy ra . 

Mâu thuẫn với giả thiết không vuông góc với .

Như vậy, tồn tại duy nhất mặt phẳng sao cho và

Bài 5. 

a) 

Ta có:

.

Từ đó, ta có

b) Ta có: và trong .

Suy ra

c) Ta có .

Hơn nữa nên

Bài 6. 

a) Ta có:

Do đó .

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .