Bài 33 trang 103 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau và đường thẳng a nằm trong (P). Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. Nếu a⊥(Q) thì (P)⊥(Q)

B. Nếu a⊥(Q) thì a⊥b với mọi b⊂(Q)

C. Nếu a⊥(Q) thì (P)∥(Q)

D. Nếu a⊥(Q) thì a⊥d với mọi d=(P)∩(Q)

Lời giải chi tiết

Đáp án A đúng, vì nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Đáp án B đúng, vì với một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Đáp án C sai, vì hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau, nên chúng không thể song song với nhau.

Đáp án D đúng, vì nếu a⊥(Q) thì ta suy ra (P)⊥(Q). Ta có tính chất nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Đáp án cần chọn là C.

Bài 34 trang 103 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến d, đường thẳng a song song với (P). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu a⊥d thì a⊥(Q)

B. Nếu a⊥d thì a∥(Q)

C. Nếu a⊥d thì a∥b với mọi b⊂(Q)

D. Nếu a⊥d thì a∥c với mọi c∥(Q)

Lời giải chi tiết

Lấy mặt phẳng (R) bất kì chứa đường thẳng a và cắt (P) theo giao tuyến là đường thẳng a′. Ta dễ dàng suy ra được a∥a′. Nếu a⊥d, do a∥a′ nên a′⊥d.

Ta có (P)⊥(Q), d=(P)∩(Q) a′⊥d nên ta suy ra a′⊥(Q).

Vì a′⊥(Q) a∥a′, ta suy ra a⊥(Q)

Đáp án đúng là A

Bài 35 trang 103 SBT Toán 11 CD tập 2: Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì:

A. Song song với nhau.

B. Trùng nhau.

C. Không song song với nhau.

D. Song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Lời giải chi tiết

Giả sử ta có (P)⊥(R) và (Q)⊥(R). Gọi a là giao tuyến của (P) và (R), b là giao tuyến của (Q) và (R). Do a và b cùng nằm trong (R), nên sẽ xảy ra hai trường hợp:

Nếu a∥b, ta dễ dàng chứng minh được (P)∥(Q)

Nếu a cắt b, ta dễ dàng chứng minh được (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c.

Do (P)⊥(R) và (Q)⊥(R) ta suy ra c⊥(R)

Vậy đáp án đúng là D.

Bài 36 trang 103 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Khi đó mặt phẳng (ABCD) vuông góc với đường thẳng:

A. SA

B. SB

C. SC

D. SD

Lời giải chi tiết

Vì (SAB)⊥(ABCD), (SAC)⊥(ABCD), SA=(SAB)∩(SAC), nên SA⊥(ABCD)

Đáp án đúng là A.

Bài 37 trang 104 SBT Toán 11 CD tập 2: Hình dưới đây gợi nên hình ảnh một số cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra 2 cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Mặt phẳng (S) là mặt đứng, nên nó vuông góc với cả 3 mặt phẳng trên.

Ta có (P)⊥(S), (Q)⊥(S), (R)⊥(S). Các bạn có thể kể ra được 2 trong 3 cặp mặt phẳng vuông góc này.

Bài 38 trang 104 SBT Toán 11 CD tập 2: Chứng minh các định lí sau:

a) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.

b) Cho một mặt phẳng và một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng đó. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho và vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Lời giải chi tiết

a)

Giả sử có ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thoả mãn (P)∥(Q) và (P)⊥(R). Ta cần chứng minh (Q)⊥(R). Thật vậy, gọi a là giao tuyến của (P) và (R). Lấy đường thẳng d nằm trong (R) sao cho a⊥d.

Vì (P)⊥(R), a=(P)∩(R), a⊥d, ta suy ra d⊥(P)

Mà (P)∥(Q), ta có d⊥(Q). Do d⊂(R) nên ta suy ra (Q)⊥(R). Bài toán được chứng minh.

b) Xét đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Chỉ ra rằng tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và chứa d.

Xét trường hợp d cắt (P) tại A. (Các trường hợp d⊂(P) và d∥(P) chứng minh tương tự).

Lấy M∈d sao cho M≠A. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a⊥(P). Ta nhận xét rằng a và d cắt nhau, nên mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.

Vì a⊥(P), a⊂(Q) nên ta suy ra (P)⊥(Q)

Giả sử tồn tại mặt phẳng (Q′) sao cho (P)⊥(Q′) và d⊂(Q′). Ta thấy rằng d là giao tuyến của (Q′) và (Q). Do (P)⊥(Q)(và (P)⊥(Q′), ta suy ra d⊥(P). Điều này là vô lí, vì d không vuông góc với (P). Như vậy, (Q) là duy nhất.

Bài toán được chứng minh.

Bài 39 trang 104 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′⊥(ABC), tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng (MAA′)⊥(BCC′B′)

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên AM⊥BC.

Do AA′⊥(ABC) ta suy ra BB′⊥(ABC). Điều này dẫn tới BB′⊥AM

Như vậy, do AM⊥BC, BB′⊥AM, ta suy ra AM⊥(BCC′B′)

Mà AM⊂(MAA′) nên (MAA′)⊥(BCC′B).

Bài toán được chứng minh.

Bài 40 trang 104 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) và ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

a) (SAB)⊥(SBC)

b) (SAD)⊥(SCD)

Lời giải chi tiết

a) Do SA⊥(ABCD), ta suy ra SA⊥BC.

Do ABCD là hình chữ nhật, ta suy ra AB⊥BC.

Như vậy ta có SA⊥BC, AB⊥BC. Điều này dẫn tới (SAB)⊥BC.

Do BC⊂(SBC), nên ta suy ra (SAB)⊥(SBC). Ta có điều phải chứng minh.

b) Do SA⊥(ABCD), ta suy ra SA⊥DC.

Do ABCD là hình chữ nhật, ta suy ra AD⊥DC.

Như vậy ta có SA⊥DC, AD⊥DC. Điều này dẫn tới (SAD)⊥DC.

Do DC⊂(SDC), nên ta suy ra (SAD)⊥(SDC). Ta có điều phải chứng minh.

Bài 41 trang 104 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, (SAC)⊥(ABCD), (SBD)⊥(ABCD). Chứng minh rằng (SAC)⊥(SBD)

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta dễ dàng chứng minh được SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Vì (SAC)⊥(ABCD), (SBD)⊥(ABCD), SO=(SAC)∩(SBD), ta suy ra SO⊥(ABCD). Điều này dẫn tới SO⊥AO.

Do ABCD là hình thoi, nên ta có AC⊥BD, hay AO⊥BD.

Như vậy ta có SO⊥AO, AO⊥BD nên AO⊥(SBD)

Mà AO⊂(SAC) nên ta suy ra (SAC)⊥(SBD).

Bài toán được chứng minh.

Bài 42 trang 104 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chóp S.ABC có $ \widehat{ASB}=\widehat{ASC}=90^{o}$. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng (SAH)⊥(ABC)

Lời giải chi tiết

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên ta có AH⊥BC.

Do $ \widehat{ASB}=\widehat{ASC}=90^{o}$ nên ta suy ra SA⊥SB và SA⊥SC. Suy ra SA⊥(BSC), từ đó SA⊥BC.

Như vậy, vì AH⊥BC, SA⊥BC nên (SAH)⊥BC

Mà BC⊂(ABC), nên (SAH)⊥(ABC). Bài toán được chứng minh.

Bài 43 trang 104 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Chứng minh rằng:

a) (SAD)⊥(SAB).

b) (SBC)⊥(SAB).

c) (SAD)⊥(SBC).

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là hình chiếu của S trên AB. Ta có (SAB)⊥(ABCD), SH⊥AB, AB=(SAB)∩(ABCD) nên suy ra SH⊥(ABCD). Điều này dẫn tới SH⊥AD. Do ABCD là hình vuông nên AB⊥AD.

Như vậy ta có SH⊥AD, AB⊥AD nên suy ra (SAB)⊥AD.

Do AD⊂(SAD) nên ta suy ra (SAB)⊥(SAD).

Ta có điều phải chứng minh.

b) Theo câu a, ta có SH⊥(ABCD). Điều này dẫn tới SH⊥BC. Do ABCD là hình vuông nên AB⊥BC.

Như vậy ta có SH⊥BC, AB⊥BC nên suy ra (SAB)⊥BC.

Do BC⊂(SBC) nên ta suy ra (SAB)⊥(SBC).

Ta có điều phải chứng minh.

c) Theo câu a, ta có (SAB)⊥AD nên AD⊥SB. Do tam giác SAB vuông tại S, ta suy ra SA⊥SB.

Như vậy ta có AD⊥SB, SA⊥SB nên (SAD)⊥SB

Do SB⊂(SBC) nên ta suy ra (SAD)⊥(SBC)

Bài 44 trang 104 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC)⊥(ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, (SBM)⊥(ABCD). Giả sử SA=5a, AB=3a, AD=4a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng $ \varphi$. Tính cos$ \varphi$.

Lời giải chi tiết

Gọi H là giao điểm của BM và AC. Dễ dàng chứng minh được SH là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBM). Hơn nữa, do (SAC)⊥(ABCD) và (SBM)⊥(ABCD), ta suy ra SH⊥(ABCD), tức H là hình chiếu của S trên (ABCD)

Do đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) chính là góc $ \widehat{SAH}$, tức là $ \varphi $=$ \widehat{SAH}$. Suy ra cos$ \varphi $=cos$ \widehat{SAH}$=$ \frac{AH}{SA}$.

Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AC=$ \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}}=5a$.

Ta có AM=$ \frac{1}{2}$AD=$ \frac{1}{2}$.4a=2a.

Do AM∥BC, ta suy ra $ \frac{AH}{HC}=\frac{AM}{BC}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}$. Như vậy $ \frac{AH}{AC}=\frac{1}{3}$

Suy ra AH=$ \frac{AC}{3}=\frac{5a}{3}$.

Do đó cos$ \varphi $=$ \frac{AH}{SA}=\frac{\frac{5a}{3}}{5a}=\frac{1}{3}$