Bài 21 trang 20 SBT Toán 11 CD tập 2: Nếu A và B là hai biến cố thì P(A∪B) bằng:

A. P(A)+P(B)−P(A∩B).

B. P(A)−P(B)−P(A∩B).

C. P(A).P(B)−P(A∩B).

D. P(A).P(B)+P(A∩B).

Lời giải chi tiết

Đáp án A.

Nếu A và B là hai biến cố thì P(A∪B) bằng P(A)+P(B)−P(A∩B).

Bài 22 trang 20 SBT Toán 11 CD tập 2: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A∪B) bằng:
A. P(A).P(B).

B. P(A)−P(B).

C. P(A)+P(A∩B).

D. P(A)+P(B).

Lời giải chi tiết

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A∪B) bằng P(A)+P(B).

Đáp án D.

Bài 23 trang 20 SBT Toán 11 CD tập 2: Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(A∩B) bằng:
A. P(A)+P(B).

B. P(A)−P(B).

C. P(A).P(B).

D. P(A∪B)−P(B).

Lời giải chi tiết

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(A∩B) bằng P(A).P(B).

Đáp án C.

Bài 24 trang 20 SBT Toán 11 CD tập 2: Một hộp có 10 viên bi màu hồng và 14 viên bi màu vàng, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi. Xét các biến cố: P: “Hai viên bi được lấy ra có màu hồng”;
Q: “Hai viên bi được lấy ra có màu vàng”.

Khi đó, biến cố hợp của hai biến cố P và Q là:

A. “Hai viên bi được lấy ra chỉ có màu hồng”.

B. “Hai viên bi được lấy ra có cùng màu”.

C. “Hai viên bi được lấy ra chỉ có màu vàng”.

D. “Hai viên bi được lấy ra có màu khác nhau”.

Lời giải chi tiết

Biến cố “Hai viên bi được lấy ra có màu khác nhau” là biến cố hợp của biến cố P và biến cố Q.

Đáp án D

Bài 25 trang 20 SBT Toán 11 CD tập 2: Trên giá sách có các quyển vở không nhãn xếp cạnh nhau với bề ngoài, khối lượng và kích thước giống hệt nhau, trong đó có 5 quyển ghi môn Toán, 5 quyển ghi môn Ngữ Văn và 3 quyển ghi môn Tiếng Anh. Lấy ngẫu nhiên hai quyển vở. Xét các biến cố:

M: “Trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Tiếng Anh”;

N: “Trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Ngữ Văn”.

Khi đó, biến cố giao của hai biến cố M và N là:

A. “Hai quyển vở được lấy ghi cùng một môn".

B. “Hai quyển vở được lấy ghi hai môn khác nhau”.

C. “Trong hai quyển vở được lấy, một quyển ghi môn Tiếng Anh và một quyển

ghi môn Ngữ Văn”.

D. “Hai quyển vở được lấy có ít nhất một quyển ghi môn Tiếng Anh”.

Lời giải chi tiết

Biến cố “Trong hai quyển vở được lấy, một quyển ghi môn Tiếng Anh và một quyển ghi môn Ngữ Văn” là biến cố giao của biến cố M và biến cố N.

Đáp án C.

Bài 26 trang 20 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2. Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương từ tập hợp{1;2;3;...;2n;2n+1}.Tính xác suất để hai số được chọn có tích là số chẵn.

Lời giải chi tiết
Ta thấy từ tập hợp{1;2;3;...;2n;2n+1}có 2n−1 số nguyên dương lớn hơn 2. Mỗi cách chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương từ 2n−1 số nguyên dương cho ta một tổ hợp chập 2 của 2n−1 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các phần tử chập 2 của 2n−1 phần tử và:

n(Ω)=$ C_{2n-1}^{2}=\frac{(2n-1)!}{2!(2n-3)!}=\frac{(2n-1)(2n-2)}{2}=(2n-1)(n-1)$

Xét biến cố A: “Hai số được chọn có tích là số chẵn”.

Suy ra biến cố $ \bar{A}$: “Hai số được chọn có tích là số lẻ”.

Ta thấy hai số được chọn có tích là số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đó đều là số lẻ.

Trong 2n−1 số nguyên dương lớn hơn 2 thì có n số nguyên dương lẻ.

Do đó, số các kết quả thuận lợi cho biến cố $ \bar{A}$ là: 

 n($\bar{A}$)=$ C_{n}^{2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}$

Xác suất của biến cố $ \bar{A}$ là: P($ \bar{A}$)=$\frac{n(\bar{A})}{n(\Omega )}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{(2n-1)(n-1)}=\frac{n}{2(2n-1)}$

Suy ra xác suất của biến cố A là: P(A)=1−P($ \bar{A}$)=$1-\frac{n}{2(2n-1)}=\frac{3n-2}{2(2n-1)}$

Bài 27 trang 20 SBT Toán 11 CD tập 2: Người ta ghi lại tốc độ của 40 xe đạp đi qua một vị trí trên đường. Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của 40 xe đó (đơn vị: km/h):
a) Lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [10 ; 12), [12 ; 14), (14 ; 16), [16 ; 18), [18 ; 20).

b) Xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải chi tiết

Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu có năm nhóm ứng với năm nửa khoảng

- Tốc độ trung bình của 40 xe đạp là:

$\bar{x}=\frac{11.8+13.12+15.9+17.7+19.4}{40}$≈14,4 (km/h).

- Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$=20 mà 20=20<29. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [14 ; 16) có r=14,d=2,n3=9 và nhóm 2 là nhóm

[12 ; 14) có cf2=20.

Trung vị của mẫu số liệu là:

Me=r+$(\frac{\frac{n}{2}-cf_{k-1}}{n_{k}}).d=14$+$(\frac{20-20}{9}).2$=14 (km/h).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: Q2=Me=14 (km/h).

- Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ =10 mà 8<10<13. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [12 ; 14) có s=12,h=2,n2=12 và nhóm 1 là nhóm

[10 ; 12) có cf1=8.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:

Q1=s+$(\frac{\frac{n}{4}-cf_{p-1}}{n_{p}}).h=12+(\frac{10-8}{12}).2$=12,3 (km/h).

- Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.40}{4}$ =30 mà 29<30<36. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [16 ; 18) có t=16,l=2,n4=7 và nhóm 3 là nhóm

[14 ; 16) có cf3=29.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:

Q3=t+$(\frac{\frac{3n}{4}-cf_{q-1}}{n_{p}}).l=16+(\frac{30-29}{7}).2$≈16,3(km/h).

- Ta thấy: Nhóm 2 ứng với nửa khoảng [12 ; 14) là nhóm có tần số lớn nhất với u=12,g=2,n2=12,n1=8,n3=9.

Mốt của mẫu số liệu là:

M0=u+$(\frac{n_{i}-n_{i-1}}{2n_{i}-n_{i-1}-n_{i+1}}).g=12+(\frac{12-8}{2.12-8-9}).2$≈13,1(km/h)

Bài 28 trang 21 SBT Toán 11 CD tập 2: Bạn Nam có 10 quyển sách sinh học, 20 quyển sách khoa học và 5 quyển sách văn học muốn mang đi quyên góp cho các thư viện gần nhà. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách để mang tới thư viện trường. Tính xác suất ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau.
Lời giải chi tiết

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách từ 35 quyển sách cho ta một tổ hợp chập 3 của 35 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các phần tử chập 3 của 35 phần tử và n(Ω)=$ C_{35}^{3}$=6545.

Xét biến cố A: “Ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau”.

Ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau tức là trong 3 quyển sách đó có 1 quyển sách sinh học, 1 quyển sách khoa học và 1 quyển sách văn học.

Suy ra n(A)=$ C_{10}^{1}.C_{20}^{1}.C_{5}^{1}$=1000.

Xác suất ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau là:

P(A)=$ \frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{1000}{6545}=\frac{200}{1309}$

Bài 29 trang 21 SBT Toán 11 CD tập 2: Một câu lạc bộ cờ của trường có 10 bạn, trong đó có 4 bạn biết chơi cờ tướng, 6 bạn biết chơi cờ vua, mỗi bạn chỉ biết chơi một loại cờ. Nhà trường chọn ngẫu nhiên 4 bạn để tham gia buổi giao lưu cờ giữa các học sinh trong thành phố. Tính xác suất của biến cố “Trong 4 bạn được chọn, có ít nhất một bạn biết chơi cờ tướng, ít nhất một bạn biết chơi cờ vua”.

Lời giải chi tiết
Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 4 bạn từ 10 bạn học sinh cho ta một tổ hợp chập 4 của 10 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các phần tử chập 4 của 10 phần tử và n(Ω)=$ C_{10}^{4} $=210.

Xét biến cố A: “Trong 4 bạn được chọn, có ít nhất một bạn biết chơi cờ tướng, ít nhất một bạn biết chơi cờ vua”.

Có 3 trường hợp có thể xảy ra của biến cố A.

+ Trường hợp 1: Trong 4 bạn được chọn, có 1 bạn biết chơi cờ tướng, 3 bạn biết chơi cờ vua. Suy ra số cách chọn: $ C_{4}^{1}$.$ C_{6}^{3}$

+ Trường hợp 2: Trong 4 bạn được chọn, có 2 bạn biết chơi cờ tướng, 2 bạn biết chơi cờ vua. Suy ra số cách chọn: $ C_{4}^{2}$.$ C_{6}^{2}$

+ Trường hợp 3: Trong 4 bạn được chọn, có 3 bạn biết chơi cờ tướng, 1 bạn biết chơi cờ vua. Suy ra số cách chọn: $ C_{4}^{3}$.$ C_{6}^{1}$

Suy ra n(A)= $ C_{4}^{1}$.$ C_{6}^{3}$+$ C_{4}^{2}$.$ C_{6}^{2}$+$ C_{4}^{3}$.$ C_{6}^{1}$ =194.

Xác suất của biến cố “Trong 4 bạn được chọn, có ít nhất một bạn biết chơi cờ tướng, ít nhất một bạn biết chơi cờ vua” là:

P(A)=$ \frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{194}{210}=\frac{97}{105}$

Bài 30 trang 21 SBT Toán 11 CD tập 2: Hai bạn An và Bình cùng tập ném bóng rổ một cách độc lập ở hai nửa sân khác nhau. Xác suất bạn An và bạn Bình ném bóng vào rổ lần lượt là 0,6 và 0,9. Trong cùng một lần ném, tính xác suất có ít nhất một bạn ném bóng vào rổ.
Lời giải chi tiết

Xét các biến cố A: “Xác suất bạn An ném bóng vào rổ” và B: “Xác suất bạn Bình ném bóng vào rổ”.

Từ giả thiết, suy ra A, B là hai biến cố độc lập và P(A)=0,6;P(B)=0,9.

⇒P(A∩B)=P(A).P(B)=0,6.0,9=0,54

Xét biến cố C: “Xác suất có ít nhất một bạn ném bóng vào rổ”.

 ⇒C=A∪B

Xác suất có ít nhất một bạn ném bóng vào rổ là:

⇒P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,6+0,9−0,54=0,96.

Bài 31 trang 21 SBT Toán 11 CD tập 2: Bạn Nam tham gia một trò chơi rút thăm trúng thưởng. Hộp đựng thăm có 50 lá thăm cứng với kích thước và khối lượng như nhau, trong đó có 20 lá trúng thưởng, 30 lá không trúng thưởng. Mỗi người được rút 2 lần (sau mỗi lần rút thì ghi kết quả và bỏ lại thăm vào hộp), mỗi lần 2 lá thăm. Nếu rút được 2 lá trúng thưởng thì được 1 tai nghe, nếu rút được 3 lá trúng thưởng thì được 1 tai nghe và 1 bàn phím, nếu rút được 4 lá trúng thưởng thì được 1 máy tính bảng. Tính xác suất để bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải chi tiết

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 2 lá thăm từ 50 lá thăm cho ta một tổ hợp chập 2 của 50 phần tử. Do đó, sau 2 lần bốc thăm, số phần tử của không gian mẫu Ω là: n(Ω)=($ C_{50}^{2}$)2

Xét biến cố A: “Bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe”.

Suy ra biến cố $ \bar{A}$: “Bạn Nam không được trúng thưởng có tai nghe”.

Có 3 trường hợp có thể xảy ra của biến cố $ \bar{A}$:

+ Trường hợp 1: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, có 4 lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn: $ C_{20}^{2}.C_{20}^{2}= (C_{20}^{2})^{2}$.

+ Trường hợp 2: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, có 1 lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn: 2!$ C_{30}^{2}.C_{20}^{1}.C_{30}^{1}$.

+ Trường hợp 3: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, không có lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn: $ C_{30}^{2}.C_{30}^{2}= (C_{30}^{2})^{2}$.

Suy ra n($\bar{A}$) =$(C_{20}^{2})^{2}$+2!$ C_{30}^{2}.C_{20}^{1}.C_{30}^{1}$+$(C_{30}^{2})^{2}$=747325

Xác suất của biến cố $\bar{A}$ là: P($\bar{A}$)=$\frac{n(\bar{A})}{n(\Omega )}=\frac{747325}{(C_{50}^{2})^{2}}$

Suy ra xác suất để bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe là: 

P(A)=1−P($\bar{A}$)=1−$\frac{747325}{(C_{50}^{2})^{2}}$≈0,5.