Bài 29 trang 77 SBT Toán 11 CD tập 2: Gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm $t_{0}$ là:

A. f($t_{0}$).

B. f′′($t_{0}$).

C. f′($t_{0}$).

D. −f′($t_{0}$).

Lời giải chi tiết

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là:f′′($t_{0}$).

Đáp án B.

Bài 30 trang 77 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số $f(x)=e^{-x}$. Khi đó, f′′(x) bằng:

A. $e^{-x}$

B. −$e^{-x}$

C. –$e^{x}$

D. $e^{x}$.

Lời giải chi tiết

f(x)=e−x⇒f′(x)=−e−x⇒f′′(x)=e−x.

Đáp án A

Bài 31 trang 77 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=ln(3x). Khi đó, f′′(x) bằng:

A. −$\frac{1}{9x^{2}}$

B. −$\frac{1}{x^{2}}$

C. $\frac{3}{x^{2}}$

D. −$\frac{3}{x^{2}}$

Lời giải chi tiết

f(x)=ln(3x)⇒f′(x)= $\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$ ⇒ f′′(x)=−$\frac{1}{x^{2}}$.

Đáp án B.

Bài 32 trang 78 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)= $\frac{1}{x}$ Khi đó, f′′(1) bằng:

A. 1.

B. −2.

C. 2.

D. −1.

Lời giải chi tiết

f(x)=$ \frac{1}{x}$⇒f′(x)=−$ \frac{1}{x^{2}}$⇒f′′(x)=−$ \frac{-2x}{x^{4}}$=$ \frac{2}{x^{3}}$.⇒f′′(1)=$ \frac{2}{1^{3}}$=2.

Đáp án C.

Bài 33 trang 78 SBT Toán 11 CD tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai mỗi hàm số sau:

a) f(x) = $\frac{1}{3x+5}$

b) g(x) = $2^{x+3x^{2}}$

Lời giải chi tiết

a) f(x) = $\frac{1}{3x+5}$ ⇒ f′(x)=$-3(3x+5)^{2}$⇒ f′′(x) =$-3.-2(3x+5).3=18(3x+5)$

b) g(x)=$2^{x+3x^{2}}$ ⇒ g′(x)=$(6x+1)2^{x+3x^{2}}ln2$

⇒f′′(x)=$ln2.[6.2^{x+3x^{2}}+(6x+1).(6x+1)2^{x+3x^{2}}ln2]=ln2.2^{x+3x^{2}}[6+(6x+1)^{2}ln2]$.

Bài 34 trang 78 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x) = sinx.cosx.cos2x.

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại $x_{0}=\frac{\pi }{6}$

Lời giải chi tiết

a) $f(x)=sinx.cosx.cos2x=\frac{1}{2}sin2x.cos2x=\frac{1}{4}sin4x$

$\Rightarrow f'(x)= \frac{1}{4}(sin4x)'= \frac{1}{4}.4cos4x=cos4x.\Rightarrow f''(x)=(cos4x)'=-4sin4x$

b) $f''(\frac{\pi }{6})=-4sin(\frac{4\pi }{6})=-4.\frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}$

Bài 35 trang 78 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số $f(x)=x^{3}+4x^{2}+5$. Giải bất phương trình

f′(x)−f′′(x)≥0

Lời giải chi tiết

$f(x)=x^{3}+4x^{2}+5 \Rightarrow f'(x)=3x^{2}+8x \Rightarrow f''(x)=6x+8.$

Theo đề bài: $f'(x)-f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 3x^{2}+8x-(6x+8)\geq 0\Leftrightarrow 3x^{2}+2x-8\geq 0$

$(3x-4)(x+2)\geq 0 \Leftrightarrow x\geq  \frac{4}{3}; x\leq -2$

Tập nghiệm của bất phương trình là: $(-\infty;-2] \cup[\frac{4}{3};+\infty).$

Bài 36 trang 78 SBT Toán 11 CD tập 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)=$ \frac{1}{3}t^{3}-3t^{2}+8t+2$, trong đó t>0,t tính bằng giây, s(t) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm:

a) Tại thời điểm t = 5 (s).

b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng −1m/s.

Lời giải chi tiết

Ta có: $ s(t)=\frac{1}{3}t^{3}-3t^{2}+8t+2$

Vận tốc tức thời của chuyển động s=s(t) tại thời điểm t là:

v(t)=s′(t)=$t^{2}$−6t+8.

Gia tốc tức thời của chuyển động s=s(t) tại thời điểm t là:

s′′(t)=v′(t)=2t−6.

a) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5(s) là:

$s''(5)=v'(5)=2.5−6=4(m/s^{2})$

b) Thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng −1m/s thỏa mãn phương trình: $t^{2}-6t+8=-1 \Leftrightarrow  (t-3)^{2}=0 \Leftrightarrow t = 3(s).$

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng −1m/s là: $s''(3)=v'(3)=2.3-6=0(m/s^{2}).$

Bài 37 trang 78 SBT Toán 11 CD tập 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=3sin(t+\frac{\pi }{3})$, trong đó t>0,t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}$ (s)

Lời giải chi tiết

Ta có: $s'(t)=3cos(t+\frac{\pi }{3})$

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là: $s''(t)=-3sin(t+\frac{\pi }{3}).$

Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}$ (s)

$s''(\frac{\pi}{2})=-3sin(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3})=-3sin\frac{5\pi }{6}=-\frac{3}{2} (cm/s^{2})$