Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho y=f(x) có đạo hàm tại $x_{0}$ là f′($x_{0}$). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)+f(x_{0})}{x+x_{0}}$

B. f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

C. f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x+x_{0}}$

D. f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)+f(x_{0})}{x-x_{0}}$

Lời giải chi tiết

Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f′($x_{0}$)=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

Chọn đáp án B.

Bài 2 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t,Q=Q(t). Cường độ trung bình trong khoảng $|t-t_{0}|$được xác định bởi công thức $ \frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$. Cường độ tức thời tại thời điểm $t_{0}$ là:

A. $ \frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$

B. $ \lim_{t\rightarrow 0}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$

C. $ \lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q'(t)-Q'(t_{0})}{t-t_{0}}$

D. $ \lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$

Lời giải chi tiết

Cường độ tức thời tại thời điểm t0 là: $ \lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$

Chọn đáp án D.

Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ là:

A. f($x_{0}$).

B. f′($x_{0}$).

C. $x_{0}$.

D. −f′($x_{0}$).

Lời giải chi tiết

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm P($x_{0};f(x_{0})$) là đường thẳng đi qua P với hệ số góc k=$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn, nghĩa là k=f′($x_{0}$)

Đáp án B.

Bài 4 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ là:

A. $y=f(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$. 

B. $y=f′(x_{0})(x+x_{0})+f(x_{0})$.

C. $y=f′(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$.

D. $y=f′(x_{0})(x-x_{0})-f(x_{0})$.

Lời giải chi tiết

Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm $x_{0}$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P($x_{0};y_{0}$) là $y=f′(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$.

Đáp án C.

Bài 5 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm $t_{0}$ là:

A. $f′(t_{0})$.

B. $f(t_{0})-f′(t_{0})$.

C. $f(t_{0})$.

D. $-f′(t_{0})$.

Lời giải chi tiết:

Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm $t_{0}$ là: $v(t_{0})=f′(t_{0})$.

Đáp án A.

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:

a) f(x)=x+2;

b) $g(x)=4x^{2}-1$;

c) h(x)=$ \frac{1}{x-1}$

Lời giải chi tiết:

a) Tại $x_{0}\in \mathbb{R}$ tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy = f($x_{0}$+Δx) − f($x_{0}$)=$x_{0}$ + Δx + 2 − $x_{0}$ −2=Δx.⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1=1$

⇒f′(x)=1

b) Tại $x_{0} \in \mathbb{R}$ tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy = g($x_{0}$ + Δx) − g($x_{0}$) = 4($x_{0}$ + Δx)$^{2}$ − 1 − 4$x_{0}^{2}$ + 1 = 8$x_{0}$.Δx+(Δx)$^{2}$

⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}$ =8$x_{0}$ + Δx ⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} $(8$x_{0}$+Δx)=8$x_{0}$.

⇒g′(x)=8x

c) Tại $x_{0}\in \mathbb{R}$∖{1}, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy=h($x_{0}$+Δx)−h($x_{0}$)=$ \frac{1}{x_{0}+\Delta x-1}-\frac{1}{x_{0}-1}=\frac{-\Delta x}{(x_{0}+\Delta x-1)(x_{0}-1)}$

⇒$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{(x_{0}+\Delta x-1)(x_{0}-1)}$⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-1}{(x_{0}+\Delta x-1)(x_{0}-1)}=\frac{-1}{(x_{0}-1)^{2}}$

⇒h′(x)=−$ \frac{-1}{(x_{0}-1)^{2}}$

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Chứng minh rằng hàm số f(x)=|x−2|không có đạo hàm tại điểm $x_{0}$ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x≠2.
Lời giải chi tiết

* Xét x>2⇒f(x)=|x−2|=x−2.

Tại $x_{0}$∈(2;+∞) tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy=f($x_{0}$+Δx)−f($x_{0}$)=$x_{0}$+Δx+2−$x_{0}$−2=Δx.⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1=1$

⇒f′(x)=1

* Xét x<2⇒f(x)=|x−2|=2−x.

Tại $x_{0}$∈(−∞;−2) tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy=f($x_{0}$+Δx)−f($x_{0}$)=2−($x_{0}$+Δx)+$x_{0}$−2=−Δx.⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{\Delta x}{\Delta x}=-1$⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-1=-1$

⇒f′(x)=−1

* Xét tại x=2, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$=2.

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1=1\neq \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-1=-1$

Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x=2.

Bài 8 trang 65 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=$x^{3}$ có đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng −1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.

Lời giải chi tiết

Tại $x_{0}$∈R tùy ý, gọi Δx là số gia của biến số tại $x_{0}$.

Δy=f($x_{0}$+Δx)−f($x_{0}$)=($x_{0}+Δx)$^{3}$−$x_{0}^{3}$=3$x_{0}^{2}$.Δx+3$x_{0}$(Δx)$^{2}$+(Δx)$$^{3}$

⇒$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3x_{0}^{2}.\Delta x+3x_{0}(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}$ =$3x_{0}^{2}$+3$x_{0}$.Δx+(Δx)$^{2}$

⇒$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}3x_{0}^{2}+3x_{0}(\Delta x)+(\Delta x)^{2}=3x_{0}^{2}$.

⇒f′(x)=$3x^{2}$

a) Gọi M($x_{0};y_{0}$) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có hoành độ bằng −1.

⇒$x_{0}$=−1;$y_{0}$=−1 ⇒M(−1;−1)

 ⇒f′(−1)=3(−1)$^{2}$=3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(−1;−1) là:

y=f′(−1)(x−(−1))+f(−1)⇔y=3(x+1)−1⇔y=3x+2.

b) Gọi N($x_{0};y_{0}$) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có tung độ bằng 8.

⇒$y_{0}$=8⇒$x_{0}$=2⇒N(2;8)

 ⇒f′(2)=3.(2)$^{2}$=12

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N(2;8) là:

y=f′(2)(x−2)+f(2) ⇔ y=12(x−2)+8 ⇔ y=12x−16.

Bài 9 trang 66 SBT Toán 11 CD tập 2: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là s(t)=$ \frac{1}{2}gt^{2}$ trong đó g=9,8m/s$^{2}$.

a) Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t=3 (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của vật tại thời điểm đó bằng 39,2(m/s).

Lời giải chi tiết

a) Gọi Δt là số gia của biến số tại thời điểm t.

$ \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{a(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{1}{2}g\frac{(t+\Delta t)^{2}-t^{2}}{\Delta t}=\frac{1}{2}g(2t+\Delta t)$

Vận tốc tức thời của vật v(t)=s′(t)=$ \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}(\frac{1}{2}g(2t+\Delta t))$ =gt.

Suy ra  vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t=3 (s):

v(3)=9,8.3=29,4(m/s).

b) Vận tốc tức thời của vật bằng 39,2(m/s).

⇒gt=39,2⇒t=$ \frac{39,2}{g}=\frac{39,2}{9,8}$=4(s).

Vậy vận tốc tức thời của vật bằng 39,2(m/s) tại thời điểm t=4 (s).