I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

a) Bài toán tìm vận tốc tức thời

Phương trình chuyển động của viên bi là $y=f(x)=\frac{1}{2}gx^{2}$. 

Tại thời điểm x$_{0}$ vật ở vị trí M$_{0}$ = f(x$_{0}$); tại thời điểm x$_{1}$ vật ở vị trí M$_{1}$ = f(x$_{1}$)

Quãng đường vật đi được: $M_{0}M_{1}=f(x_{1})-f(x_{0})$. Vận tốc trung bình của vật là

$\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$

Nếu $x_{1}-x_{0}$ càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh rõ sự nhanh hay chậm của viên bi tại thời điểm đó.

b) Bài toán tìm cường độ tức thời

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t).

Cường độ trung bình của dòng điện: $\frac{Q_{t}-Q_{t_{0}}}{t-t_{0}}$

Nếu $\left | t-t_{0} \right |$ càng nhỏ thì tỉ số trên càng biểu thị chính xác cường độ dòng diện tại thời điểm $t_{0}$.

2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

HĐ1

$v(x_{0})=\lim_{x_{1}\rightarrow 1}\frac{f(x_{1})-f(1)}{x_{1}-1}$

$=\lim_{x_{1}\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{2}gx_{1}^{2}-\frac{1}{2}g}{x_{1}-1}$

$=\lim_{x_{1}\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{2}g(x_{1}^{2}-1)}{x_{1}-1}=\frac{1}{2}g(x_{1}+1)\approx \frac{1}{2}.9,8.(1+1)\approx 9,8 (m/s)$

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x$_{0}$ ∈ (a; b).

Nếu tồn tại giới hạn $\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và được kí hiệu f'(x₀) hoặc y'(x₀).

Nhận xét: Trong định nghĩa trên, ta đặt:

∆x = x -  x$_{0}$ và gọi ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$.  

∆y = f(x$_{0}$ + ∆x) - f(x$_{0}$) và gọi ∆y là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm x$_{0}$.   

Khi đó, ta có: $f'(x_{0})=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$.

3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x$_{0}$ ∈ (a; b).

Để tính đạo hàm f'(x$_{0}$) của hàm số y = f(x) tại x$_{0}$, ta lần lượt thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$. Tính ∆y = f(x$_{0}$ + ∆x) - f(x$_{0}$).
• Bước 2: Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
• Bước 3: Tính $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Kết luận: Nếu $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = a thì f'(x$_{0}$) = a. 

Ví dụ 1: (SGK – tr.61)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.61)

Luyện tập 1

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$ = 2.

Ta có: $\Delta y=f(2+\Delta x)-f(2)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}$

$=\frac{2}{2(2+\Delta x)}-\frac{2+\Delta x}{2(2+\Delta x)}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}$

Suy ra: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{2(2+\Delta x)}$

Ta thấy, $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-1}{2(2+\Delta x)}=-\frac{1}{4}$

Vậy $f'(2)=-\frac{1}{4}$.

Ví dụ 2: (SGK – tr.61)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.62)

Nhận xét: Hàm số $f(x)=x^{2}$ có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng (-∞; +∞). Ta nói hàm số có đạo hàm trên khoảng (-∞; +∞). Một cách tổng quát: Hàm số $y=f(x)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Luyện tập 2

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^{3}-x^{3}$

$=(x+\Delta x-x)[x(x+\Delta x)^{2}+x(x+\Delta x)+x^{2}]$

$=\Delta x(x^{2}+2x.\Delta x+(\Delta x)^{2}+x^{2}+x.\Delta x+x^{2})$

$=\Delta x.(3x^{2}+(\Delta x)^{2}+3x.\Delta x)$

Ta thấy

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(3x^{2}+(\Delta x)^{2}+3x.\Delta x)=3x^{2}$

=> $f'(x)=3x^{2}$

4. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

VD: vận tốc tức thời của viên đạn, vận tốc của một vận động viên,…

Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), với là s = s(t) một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t$_{0}$ là đạo hàm của hàm số tại t$_{0}$: 

$v(t_{0})=s'v(t_{0})$

II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

HĐ2

a) $k_{0}=\lim_{x\rightarrow x_{M}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(x_{0})$

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_{0}$

$y=k_{0}(x-x_{0})+y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

Công thức

• Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$.

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ là $y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$.

Ví dụ 3: (SGK – tr.63)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.63)

Luyện tập 3

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là

$f'(1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}=-1$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm N(1;1) là

$y=-1(x-1)+1=-x+2$