Bài 1 trang 88 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có ABC là tam giác đều và ABB′A′ là hình chữ nhật. Gọi M là trung điểm của BC (Hình 4).

a) Số đo giữa hai đường thẳng AB và B′C′ bằng:

A. $30^{o}$

B. $45^{0}$.

C. $60^{0}$.

D. $90^{0}$.

b) Số đo giữa hai đường thẳng AB và CC′ bằng:

A. $30^{o}$

B. $45^{0}$.

C. $60^{0}$.

D. $90^{0}$.

c) Số đo giữa hai đường thẳng AM và A′C′ bằng:

A. $30^{o}$

B. $45^{0}$.

C. $60^{0}$.

D. $90^{0}$.

Lời giải chi tiết

a) Do ABC là tam giác đều nên $\widehat{ABC}=60^{0}$.

Ta có: BC// B′C′nên (AB,B′C′)=(AB,BC)=$ \widehat{ABC}=60^{0}$

Đáp án C.

b) Do ABB′A′ là hình chữ nhật nên $\widehat{ABB’}=90^{0}$.

Ta có: BB′// CC′ nên (AB,CC′)=(AB,BB′)=$\widehat{ABB’}=90^{0}$

Đáp án D.

c) Do ABC là tam giác đều nên $\widehat{MAC}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BAC}$=$\frac{1}{2}.60^{0}=30^{0}$.

Ta có: AC// A′C′nên (AM,A′C′)=(AM,AC)=$ \widehat{MAC}=30^{0}$

Đáp án A.

Bài 2 trang 89 SBT Toán 11 CD tập 2: Hình 5 gợi nên hình ảnh một số cặp đường thẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

Ba cặp đường thẳng vuông góc với nhau là: c và e; b và e; a và b.

Bài 3 trang 89 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′có đáy là hình vuông.

a) Chứng minh rằng AB⊥A′D′và AC⊥B′D′.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A′B′.

Lời giải chi tiết

a) Do A′B′C′D′là hình vuông nên A′D′⊥A′B′,A′C′⊥B′D′.

Ta có: AB// A′B′⇒AB⊥A′D′.

AC// A′C′⇒AC⊥B′D′.

b) Do ABCD là hình vuông nên $ \widehat{CAB}$=$ \frac{1}{2}$$ \widehat{DAB}$=$ \frac{1}{2}.90^{0}=45^{0}$.

Ta có: AB// A′B′nên (AC,A′B′)=(AC,AB)=$ \widehat{CAB}=45^{0}$.

Bài 4 trang 89 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình lăng trụ  có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng M′N⊥P′Q.
Lời giải chi tiết

Do PQQ′P′ là hình thoi nên P′Q⊥PQ′.

Ta có: M′Q′// NP và M′Q′=NP nên M′Q′PN là hình bình hành ⇒M′N⇒// PQ′.

Từ đó suy ra M′N⊥P′Q.

Bài 5 trang 89 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC, biết MN=a$ \sqrt{3} $ và AD=BC=2a.

Lời giải chi tiết

Gọi P là trung điểm của AC.

Ta có: MP, PN lần lượt là đường trung bình của ΔABC,ΔACD.

⇒MP//BC,PN//AD và MP=$ \frac{1}{2} $BC=a,PN=$ \frac{1}{2} $AD=a.

Do đó (AD,BC)=(PN,MP).

Xét ΔMNP:

Cos$ \widehat{MPN} $=$ \frac{MP^{2}+PN^{2}-MN^{2}}{2MP.PN}=\frac{a^{2}+a^{2}-(a\sqrt{3})^{2}}{2a.a}=-\frac{1}{2} $⇒$ \widehat{MPN} =120^{0}$.

Suy ra(AD,BC)=(PN,MP)=$180^{0}-\widehat{MPN} =180^{0}-120^{0}=60^{0}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và BC là $60^{0}$