CHƯƠNG VIII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. 

PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC

BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

I. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Bài 1: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a, b…

Đáp án: 

a) Nếu a ∩ b = O thì góc giữa (a, b) được xác định bằng góc giữa hai tia đi qua O và tạo thành hai đường thẳng đó.

b) Nếu a // b thì a và b không có điểm chung, do đó không có góc tạo bởi a và b.

c) Nếu a và b trùng nhau thì a và b không có điểm cắt nào nên góc giữa hai đường thẳng này không xác định.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, DA. Biết tam giác MNP đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD. 

Đáp án: 

+) Xét ∆ABC có:

$\left\{\begin{matrix}AM=BM(gt) & \\ BN=CN(gt) & \end{matrix}\right.$

hay M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

=> MN là đường trung bình của ∆ABC => MN//AC.

+) Xét ∆ABD có:

$\left\{\begin{matrix}AM=BM(gt) & \\ AP=DP(gt) & \end{matrix}\right.$

hay P, M lần lượt là trung điểm của AD, AB

=> MP là đường trung bình của ∆ABD => MP//BD

Mà ∆MNP đều => $\widehat{NMP}$=60$^{\circ}$

Vậy (AC,BD)=(MN,MP)=$\widehat{NMP}$=60$^{\circ}$

II. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Bài 1: Trong Hình 1 ở phần mở đầu, hai đường thẳng a, b gợi nên hình ảnh hai đường thẳng vuông góc. Góc giữa a và b bằng bao nhiêu độ? 

Đáp án: 

(a, b) = 90$^{\circ}$

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng AH vuông góc với B’C’ 

Đáp án: 

Ta có: 

+) AH⊥BC (H là trực tâm ∆ABC)

+) BC//B'C' (ABC.A'B'C' là hình lăng trụ)

=> AH⊥B'C' (đpcm)

III. Bài tập

Bài 1: Hình 6 gợi nên hình ảnh 5 cặp đường thẳng vuông góc. Hãy chỉ ra 5 cặp đường thẳng đó 

Đáp án: 

5 cặp đường thẳng vuông góc là:

+) a⊥b

+) a⊥c

+) b⊥c

+) c⊥d

+) a⊥d.

Bài 2: Trong Hình 7 cho ABB’A’, BCC’B’, ACC’A’ là các hình chữ nhật. Chứng minh rằng AB ⊥ CC′, AA′⊥BC 

Đáp án: 

Ta có:

+) AB⊥BB'  (ABB'A' là hình chữ nhật)

+) BB'//CC'  (BCC'B' là hình chữ nhật)

=> AB⊥CC' (đpcm)

Tương tự :

+) BC⊥CC' (BCC'B' là hình chữ nhật)

+) AA'//CC' (AA'C'C là hình chữ nhật)

=> AA'⊥BC (đpcm)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành… 

Đáp án: 

a) (SA, AB) = $\widehat{SAB}$=100$^{\circ}$

b) Ta có: AB//CD (ABCD là hình bình hành)

=> (SA, CD) = (SA, AB) = $\widehat{SAB}$=100$^{\circ}$

Bài 4: Bạn Hoa nói rằng: “Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b vuông góc với nhau”. Bạn Hoa nói đúng hay sai? Vì sao? 

Đáp án: 

Bạn Hoa nói sai. Vì theo quan hệ từ vuông góc tới song song :

$\left\{\begin{matrix}a\perp c & \\ b\perp c & \end{matrix}\right.$ => a//b