CHƯƠNG VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

BÀI 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

I. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên

Bài 1:

a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a

b) Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a. 

Đáp án: 

a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. Khi đó: a$^{n}$=a.a. ….a⏟n thừa số a

b) Với a≠0 thì a$^{0}$=1

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức…

Đáp án: 

M=($\frac{1}{3}$)$^{12}$.($\frac{1}{27}$)$^{-5}$+(0,4)$^{-4}$.25$^{-2}$.($\frac{1}{32}$)$^{-1}$ 

=$\frac{1}{3^{12}}$ . 3$^{15}$+$\frac{5^{4}}{2^{4}}$ .$\frac{1}{5^{4}}$ . 2$^{5}$ 

=3$^{3}$+2=29  

Bài 3:

a) Với a là số thực không âm, nêu định nghĩa căn bậc hai của a

b) Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a 

Đáp án: 

a) Căn bậc hai của một số thực a không âm, kí hiệu là $\sqrt{a}$ là số x sao cho x$^{2}$=a.

b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho x$^{3}$=a.

Bài 4: Các số 2 và – 2 có là căn bậc 6 của 64 hay không? 

Đáp án: 

Do 2$^{6}$=(-2)$^{6}$=64 

=> 2 và -2 là căn bậc 6 của 64

Bài 5:

a) Với mỗi số thực a, so sánh…

Đáp án: 

a) +) Với $\sqrt{a^{2}}$≥0;|a|≥0  

($\sqrt{a^{2}}$)$^{2}$=a$^{2}$; (|a|)$^{2}$=a$^{2}$

=> $\sqrt{a^{2}}$=|a|

+) ($\sqrt[3]{a^{3}}$)$^{3}$=a$^{3}; a$^{3}=a$^{3}

=> $\sqrt[3]{a^{3}}$=a

b) Với a,b>0

($\sqrt{a.b}$)$^{2}$=a.b; ($\sqrt{a}$.$\sqrt{b}$)$^{2}$=a.b

=> $\sqrt{a.b}$=$\sqrt{a}$.$\sqrt{b}$

Bài 6: Rút gọn mỗi biểu thức sau…

Đáp án: 

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}$.$\sqrt[4]{81}$=$\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}$.3=$\frac{15}{4}$

b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}$=$\sqrt[5]{\frac{2.7^{2}.7^{3}}{2^{6}}}$=$\frac{\sqrt[5]{7^{5}}}{\sqrt[5]{2^{5}}}$=$\frac{7}{2}$

Bài 7: Thực hiện các hoạt động sau…

Đáp án: 

a) 2$^{\frac{6}{3}}$=2$^{2}$

b) 2$^{\frac{6}{3}}$=$\sqrt[3]{2^{6}}$=$\sqrt[3]{(2^{2})^{3}}$=2$^{2}$

Bài 8: Rút gọn biểu thức…

Đáp án: 

N=$\frac{x^{\frac{4}{3}}y+xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$ Với x>0,y>0 

=$\frac{\sqrt[3]{x^{4}}y+x\sqrt[3]{y^{4}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$=$\frac{xy(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$ =xy 

II. Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Bài 1: Xét số vô tỉ:…

Đáp án: 

Dự đoán: 3$^{\sqrt{2}}$≈4,72

Bài 2: So sánh 10$^{\sqrt{2}}$ và 10

Đáp án: 

Do 10$^{\sqrt{2}}$≈25,95 => 10$^{\sqrt{2}}$>10

Bài 3: Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương 

Đáp án: 

+ a$^{\alpha }$.a$^{\beta }$=a$^{\alpha +\beta }$ 

+ (ab)$^{\alpha }$=a$^{\alpha }$.b$^{\alpha }$ 

+ ($\frac{a}{b}$)$^{\alpha }$=ab 

+ ($\frac{a^{\alpha }}{b^{\beta }}$)=a$^{\alpha -\beta }$

+ (a$^{\alpha }$)$^{\beta }$=a$^{\alpha .\beta }$.

+ Nếu a>1 thì a$^{\alpha }$>a⇔α>β.

+ Nếu 0<a<1 thì a$^{\alpha }$>a⇔α<β.

Bài 4: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số…

Đáp án: 

Ta có: 2$\sqrt{3}$=4.$\sqrt{3}$=$\sqrt{12}$

3$\sqrt{2}$=$\sqrt{9}$.$\sqrt{2}$=$\sqrt{18}$ 

Vì $\sqrt{12}$<$\sqrt{18}$⟺2$\sqrt{3}$<3$\sqrt{2}$

=> 2$^{2\sqrt{3}}$<2$^{3\sqrt{2}}$.

Bài 5: Dùng máy tính cầm tay để tính…

Đáp án: 

a) (-2,7)$^{-4}$ ≈0,02 

b) (3-1)$^{\sqrt[3]{4}+1}$≈0,45

III. Bài tập

Bài 1: Tính…

Đáp án: 

a)($\frac{1}{256}$)$^{-0,75}$+($\frac{1}{27}$)$^{-\frac{4}{3}}$

=256$^{\frac{3}{4}}$+27$^{\frac{4}{3}}$=$\sqrt[4]{(4^{3})^{4}}$+$\sqrt[3]{(3^{4})^{3}}$=145 

b)($\frac{1}{49}$)$^{-1,5}$-($\frac{1}{125}$)$^{-\frac{2}{3}}$

=49$^{\frac{3}{2}}$-125$^{\frac{2}{3}}$=$\sqrt[2]{(7^{3})^{2}}$+$\sqrt[3]{(5^{2})^{3}}$=318 

c) 4$^{\sqrt{3}+3}$-4$^{\sqrt{3}-1}$.2$^{-2\sqrt{3}}$

=4$^{\sqrt{3}+3}$.2$^{-2\sqrt{3}}$-4$^{\sqrt{3}-1}$.2$^{-2\sqrt{3}}$=2$^{2\sqrt{3}}+6-^{-2\sqrt{3}}$-2$^{2\sqrt{3}}-3-^{-2\sqrt{3}}$ =$\frac{255}{4}$ 

Bài 2: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:…

Đáp án: 

a) a$^{\frac{1}{3}}$.$\sqrt{a}$=a$^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}$=a$^{\frac{5}{6}}$

b) b$^{\frac{1}{2}}$.b$^{\frac{1}{3}}$.$\sqrt[6]{b}$=b$^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$=b

c) a$^{\frac{4}{3}}$:$\sqrt[3]{a}$=a$^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}$=a

d) $\sqrt[3]{b}$:b$^{\frac{1}{6}}$=b$^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}$=b$^{\frac{1}{6}}$

Bài 3: Rút gọn mỗi biểu thức sau…

Đáp án: 

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}$=$\frac{a^{\frac{1}{3}}.(a^{2}-1)}{a^{\frac{1}{3}}(a-1)}$=$\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}$=a+1

b) $\sqrt[3]{\sqrt{(a^{4})^{3}.(b^{2})^{3}}}$  (a>0;b>0)

=$\sqrt[3]{(\sqrt{a^{4}})^{3}.(\sqrt{b^{2}})^{3}}$ =a$^{2}$.b 

Bài 4: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần…

Đáp án: 

a) Ta có: 1$^{1,5}$=1;  3$^{-1}$=$\frac{1}{3}$;($\frac{1}{2}$)$^{-2}$=2$^{2}$=4. 

=> 3$^{-1}$;1$^{1,5}$;($\frac{1}{2}$)${-2}$

b) Ta có: 2022$^{0}$=1; ($\frac{4}{5}$)$^{-1}$=$\frac{5}{4}$;5$^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$.  

=> 2022$^{0}$;45)$^{-1}$;5$^{\frac{1}{2}}$.

Bài 5: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau…

Đáp án: 

a) 6$^{\sqrt{3}}$ và 36

36=6$^{2}$=6$^{\sqrt{4}}$ 

Mà $\sqrt{3}$<$\sqrt{4}$⟺6$^{\sqrt{3}}$<36

b) (0,2)$^{\sqrt{3}}$ và (0,2)$^{\sqrt{5}}$ 

Có $\sqrt{3}$<$\sqrt{5}$⟺(0,2)$^{\sqrt{3}}$>(0,2)$^{\sqrt{5}}$

Bài 6: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P…

Đáp án: 

Số năm ở Trái Đất mà sao Hỏa quay quanh Mặt Trời là:

P=1,52$^{\frac{3}{2}}$≈1,87 (AU)