I. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ

1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên

HĐ1

a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

b) Với a ≠ 0 thì a$_{0}$ = 1

Định nghĩa

Cho số thực a khác 0 và số nguyên dương n. Ta đặt $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$.

Ta đã xác định được a$^{m}$, ở đó a là số thực tùy ý khác 0 và m là một số nguyên. Trong biểu thức a$^{m}$, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

Chú ý: 

• 0$^{n}$ và 0$^{-n}$ (n nguyên dương) không có nghĩa.
• Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ 1: (SGK – tr.28)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.28)

Luyện tập 1

$M=\left ( \frac{1}{3} \right )^{12}\cdot \left ( \frac{1}{27} \right )^{-5}+(0,4)^{-4}.25^{-2}\cdot \left ( \frac{1}{32} \right )^{-1}$

$=\frac{3^{15}}{3^{12}}+\frac{5^{4}}{2^{4}.5^{4}}\cdot 32$

$=3^{3}+\frac{32}{2^{4}}=29$

2. Căn bậc n

a) Định nghĩa

HĐ2

a) Căn bậc hai của một số thực √a không âm, kí hiệu là a là số x sao cho x$^{2}$ = a.

b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là ∛a là số x sao cho x$^{3}$ = a.

Định nghĩa: Cho số thực a và số nguyên dương n (n ≥ 2). Số thực b được gọi là căn bậc n của số a nếu b$^{n}$ = a.

Ví dụ 2: (SGK – tr.28)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.28)

Luyện tập 2

Các số 2 và -2 là căn bậc 6 của 64, vì: $2^{6}=(-2)^{6}=64$

Nhận xét

Với n lẻ và a ∈ R: Có duy nhất một căn bậc n của a, kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$

Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau:

• a < 0: Không tồn tại căn bậc n của a.
• a = 0: Có một căn bậc n của a là số 0.
• a > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{a}$, còn giá trị âm là -$\sqrt[n]{a}$.

b) Tính chất

HĐ3

a)$\sqrt{a^{2}}$ = $\left | a \right |$

$\sqrt[3]{a^{3}}=a$

b) $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Tính chất

• $\sqrt[n]{a^{n}}$ = a     nếu n lẻ

                                    |a|    nếu n chẵn

• $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a.b}$       
• $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• $\left (\sqrt[n]{a}  \right )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$
• $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

(Ở mỗi công thức trên, ta giả sử các biểu thức xuất hiện trong đó là có nghĩa).

Ví dụ 3: (SGK – tr.29)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.29)

Luyện tập 3

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\cdot \sqrt[4]{81}$

$=\sqrt[3]{\left ( \frac{5}{4} \right )^{3}}\cdot \sqrt[4]{(3)^{4}}$

$=\frac{5}{4}\cdot3=\frac{15}{4}$

b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}$

$=\frac{\sqrt[5]{33614}}{\sqrt[5]{64}}$

$=\frac{\sqrt[5]{2}.\sqrt[5]{7^{5}}}{\sqrt[5]{2}.\sqrt[5]{2^{5}}}=\frac{7}{2}$

3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ

HĐ4

a) $2^{\frac{6}{3}}=2^{2}$

b) $2^{\frac{6}{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}$

Định nghĩa: Cho số thực a dương và số hữu tỉ r = $\frac{m}{n}$, trong đó m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2. Lũy thừa của a với số mũ r được xác định bởi: $a^{r}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

Nhận xét

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ (a > 0, n ∈ N, n ≥ 2).

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.

Ví dụ 4: (SGK – tr.30)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.30

Luyện tập 4

$N=\frac{x^{\frac{4}{3}}y+xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

Với  x > 0, y > 0 

$N=\frac{\sqrt[3]{x^{4}}y+x\sqrt[3]{y^{4}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

$N=\frac{xy(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

$N=xy$

II. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

1. Định nghĩa

HĐ5

Từ bảng 1 ta dự đoán được: $3^{\sqrt{2}}$ ≈ 4,72

Định nghĩa: Cho là số thực dương, là số vô tỉ, $r_{n}$ là dãy số hữu tỉ và $r_{n}$ = α. Giới hạn của dãy số  ($a^{r_{n}}$) gọi là lũy thừa của a với số mũ α, kí hiệu $a^{\alpha }$, $a^{\alpha }=a^{r_{n}}$ .

Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: $1^{\alpha }$ = 1, ∀α ∈ R 

Ví dụ 5: (SGK – tr.31)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.31)

Luyện tập 5

Từ Ví dụ 5 ta đã có: $10^{\sqrt{2}}$ ≈ 25,95. Do đó $10^{\sqrt{2}}$ > 10

2. Tính chất

HĐ6

$a^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha };\left ( \frac{a}{b} \right )^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }};\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \beta }$

Tính chất

Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$a^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha };\left ( \frac{a}{b} \right )^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }};\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \beta }$

• Nếu a > 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ <=> α > β.
• Nếu 0 < a < 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ <=> α < β.

Ví dụ 6: (SGK – tr.32)

Hướng dẫn giải (SGK – tr32)

Ví dụ 7: (SGK – tr.32)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.32)

Luyện tập 6

Có $2\sqrt{3}$ < $3\sqrt{2}$

=> $2^{2\sqrt{3}}$ < $2^{3\sqrt{2}}$

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực.

Ví dụ 8: (SGK – tr.32)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.32)

Ví dụ 9: (SGK – tr.32)

Hướng dẫn giải (SGk – tr.33)