BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

I. Phép toán trên các biến cố

Bài 1: Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần”…

Đáp án: 

a) A={2; 4; 6}

B={1;3;5} 

b) C: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc số lẻ”

Bài 2: Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. Phát biểu biến cố A ∪ B dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện .

Đáp án: 

A={3;6;9;12} và B={4;8;12}

A∪B: “Số thẻ rút được là số chia hết cho 3 hoặc 4”.

Bài 3: Đối với các tập hợp A, B trong Hoạt động 1, ta đặt D = A ∩ B. Phát biểu biến cố D dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. 

Đáp án: 

D={6} 

D: “Số xuất hiện trên thẻ rút ra vừa là số chẵn vừa là số chia hết cho 3”.

Bài 4: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số lẻ” và B: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ”. Phát biểu biến cố A ∩ B dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.

Đáp án: 

A={1;3;5};B={1;3;5} 

A∩B: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số lẻ”.

Bài 5: Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”…

Đáp án: 

Ta có: Ω = {(x; y)| 1 ≤ x, y ≤ 6; x, y ∈ ℕ}.

a) A = {(x; y)| x là số lẻ; 1 ≤ x, y ≤ 6; x, y ∈ ℕ}.

B = {(x; y)| x là số chẵn; 1 ≤ x, y ≤ 6; x, y ∈ ℕ}.

b) A∩B=∅ 

Bài 6: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có xung khắc không?

Đáp án: 

Ta có: A ∩ B = ∅

Vậy biến cố A xung khắc biến cố B.

II. Biến cố độc lập

Bài 1: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:…

Đáp án: 

- Một kết quả thuận lợi cho biến cố A là xuất hiện mặt S ở lần tung thứ nhất (xác suất là $\frac{1}{2}$).

- Một kết quả thuận lợi cho biến cố B là xuất hiện mặt N ở lần tung thứ hai (xác suất là $\frac{1}{2}$).

=> Kết quả thuận lợi cho biến cố A không ảnh hưởng gì đến xác suất xảy ra của biến cố B.

Bài 2: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:…

Đáp án: 

A={2;3;5} và B={4;6}

+ Khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố B đều là $\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$

+ Khi biến cố B xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố A đều là $\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$

=> Biến cố A và B độc lập với nhau.

Biến cố A và B không xung khắc, vì có kết quả thỏa mãn của A và B.

III. Quy tắc tính xác suất

Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Xét biến cố A: “Số được viết ra là số chia hết cho 2” và biến cố B: “Số được viết ra là số chia hết cho 7”.

a) Tính P(A), P(B), P(A ∪ B) và P(A ∩ B).

b) So sánh P(A ∪ B) và P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Đáp án: 

a) A={2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}; B={7; 14}  

A∩B={14}  

A∪B={2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20;7} 

+ P(A)=$\frac{1}{2}$ ;  P(B)=$\frac{1}{10}$

+ P(A∪B)=$\frac{11}{20}$ ;  P(A∩B)=$\frac{1}{20}$

b) P(A)+P(B)-P(A∩B)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{20}$=$\frac{11}{20}$ =P(A∪B)

Bài 2: Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 7” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 11”. Tính P(A ∪ B).

Đáp án: 

n($\Omega $)=52 

A={7, 14, 21, 28, 35, 42, 49}; B={11, 22, 33, 44} 

P(A)=$\frac{7}{52}$  

P(B)=$\frac{4}{52}$ 

P(A∪B)=P(A)+P(B)=$\frac{7}{52}$+$\frac{4}{52}$=$\frac{11}{52}$ 

Bài 3: Xét các biến cố độc lập A và B trong Ví dụ 4.

a) Tính P(A), P(B) và P(A ∩ B).

b) So sánh P(A ∩ B) và P(A).P(B).

Đáp án: 

a) P(A)=$\frac{3}{7}$; P(B)=$\frac{4}{7}$; P(A∩B)= $\frac{3}{7}$.$\frac{4}{7}$ = $\frac{12}{49}$

b) P(A).P(B)=$\frac{3}{7}$.$\frac{4}{7}$ = $\frac{12}{49}$=P(A∩B)

Bài 4: Một xưởng sản xuất có hai máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để máy I và máy II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Tính xác suất của biến cố C: “Cả hai máy của xưởng sản xuất đều chạy tốt”.

Đáp án: 

P(A)=0,8; P(B)=0,9

P(A).P(B)=0,8 . 0,9=0,72 

IV. Tính xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản

Bài 1: Cho hai đường thẳng song song d$_{1}$ và d$_{2}$. Trên d$_{1}$ lấy 17 điểm phân biệt, trên d$_{2}$ lấy 20 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm, tính xác suất để các điểm này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.

Đáp án: 

n($\Omega $)=C$_{37}^{3}$=7770 

A: "Trong 3 điểm có 1 điểm thuộc d$_{1}$ và 2 điểm thuộc d$_{2}$"  

=> n(A)=C$_{17}^{1}$.C$_{20}^{2}$=3230

B: "Trong 3 có 2 điểm thuộc d$_{1}$ và 1 điểm thuộc d$_{2}$"

=> n(B)=C$_{17}^{2}$.C$_{20}^{1}$=2720

H: "Ba điểm được chọn thuộc vào đường thẳng d$_{1}$ hoặc d$_{2}$"

Khi đó: H=A∪B và A∩B=∅.

=> P(H)=$\frac{3230+2720}{7770}$=$\frac{85}{111}$

Bài 2: Để trang trí một tờ giấy có dạng hình chữ nhật, bạn Thuỳ chia tờ giấy đó thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng nhau. Mỗi hình chữ nhật nhỏ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng mà bạn Thuỳ có thể tô màu trang trí cho tờ giấy đó.

Đáp án: 

Bài 3: Một hộp có 5 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đỏ và 7 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng.

Đáp án: 

n($\Omega $)=C$_{8}^{5}$=8 568 

A: "Trong 5 viên bi có 1 viên bi màu xanh, 2 viên bi màu vàng, 2 viên bi màu đỏ"

=> n(A) = C$_{5}^{1}$. C$_{6}^{2}$. C$_{7}^{2}$ =1575

B: "Trong 5 viên bi có 3 viên bi màu xanh, 1 viên bi màu vàng, 1 viên bi màu đỏ"

=> n(B) = C$_{5}^{3}$. C$_{6}^{1}$. C$_{7}^{1}$= 420 

Xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng là: P(H)=$\frac{1575+420}{8568}$=$\frac{95}{408}$

V. Bài tập

Bài 1: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa”

B : “Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa”

C: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa”

D : “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.

Đáp án: 

- C là biến cố giao của hai biến cố A, B.

- D là biến cố hợp của hai biến cố A, B.

Bài 2: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:…

Đáp án: 

a) A và C là cặp biến cố xung khắc

b) A và B; B và C là các cặp biến cố độc lập

Bài 3: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất của biến cố M: “Số tự nhiên có hai chữ số được viết ra chia hết cho 11 hoặc chia hết cho 12”.

Đáp án: 

n(Ω)=90  

A: "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 11". 

=> n(A)=9 => P(A)=$\frac{1}{10}$

B: "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 12". 

=> n(B)=8 => P(B)=$\frac{4}{45}$

Vậy P(M)=$\frac{1}{10}$+$\frac{4}{45}$=$\frac{17}{90}$

Bài 4: Một hộp có 12 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng.

Đáp án: 

n(Ω)= C$_{12}^{5}$ = 792 

Số cách lấy ra 5 viên bi sao cho trong đó có ít nhất 2 viên bi màu vàng là:

+ Lấy 2 viên bi màu vàng và 3 viên màu xanh:  C$_{5}^{2}$. C$_{7}^{3}$=350

+ Lấy 3 viên bi màu vàng và 2 viên màu xanh:  C$_{5}^{3}$. C$_{7}^{2}$ =210

+ Lấy 4 viên bi màu vàng và 1 viên màu xanh:  C$_{5}^{4}$. C$_{7}^{1}$=35

+ Lấy 5 viên bi màu vàng:  C$_{5}^{5}$=1

=> Tổng số cách lấy ra 5 viên bi sao cho trong đó có ít nhất 2 viên bi màu vàng là: 

350+210+35+1=596 (cách)

Xác suất để lấy ra 5 viên bi sao cho trong đó có ít nhất 2 viên bi màu vàng là:

P=$\frac{596}{792}$=$\frac{149}{198}$

Bài 5: Hai bạn Việt và Nam cùng tham gia một kỳ thi trắc nghiệm môn Toán và môn Tiếng Anh một cách độc lập nhau. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai bạn Việt và Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó.

Đáp án: 

n(Ω)=6$^{4}$ 

TH1: Môn Toán trùng mã đề thi, môn Tiếng Anh không trùng.

+ Hùng chọn 1 mã Toán có: C$_{6}^{1}$=6 (cách)

+ Hùng chọn 1 mã Tiếng Anh có: C$_{6}^{1}$=6 (cách)

+ Vương chọn 1 mã Toán (phải giống Hùng) có: C$_{1}^{1}$=1 (cách)

+ Vương chọn 1 trong 5 mã Tiếng Anh có: C$_{5}^{1}$=5 (cách)

=> Có tất cả: 6.6.1.5=180 cách chọn.

TH2: Môn Tiếng Anh trùng mã đề thi, môn Toán không trùng: 6.1.6.5=180 cách

Vậy xác suất để hai bạn Việt và Nam có chung đúng một mã đề là:

P=$\frac{180+180}{6^{4}}$=$\frac{5}{18}$ 

Bài 6: Trong một chiếc hộp có 20 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 9 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra có đúng hai màu.

Đáp án: 

n(Ω) = C$_{20}^{3}$ =1140 

Gọi A là biến cố: "3 viên vi lấy ra có đúng hai màu"

Khi đó $\bar{A}$ là biến cố: "3 viên bi lấy ra có đúng 1 màu hoặc có cả ba màu"

Có n($\bar{A}$)=(C$_{9}^{1}$. C$_{6}^{1}$. C$_{5}^{1}$) + C$_{9}^{3}$+ C$_{6}^{3}$ + C$_{5}^{3}$=384

=> P($\bar{A}$) = $\frac{n(\bar{A})}{n(\Omega )}$ =$\frac{32}{95}$

=> P(A)=1-P($\bar{A})$=1-$\frac{32}{95}$=$\frac{63}{95}$