BÀI 2. PHÉP TÍNH LÔGARIT

I. Khái niệm lôgarit

Bài 1:

a) Tìm x trong mỗi trường hợp sau:…

Đáp án: 

a) 3$^{2}$=9 ⬄ 3$^{x}$=9 ⬄ x=2

3$^{-2}$=$\frac{1}{9}$ ⬄ 3$^{x}$=$\frac{1}{9}$ ⬄ x=-2

b) Chỉ có một số thực x duy nhất thỏa mãn 3$^{x}$=5.

Bài 2: Tính...

Đáp án: 

a) 81 =3$^{4}$ =4 

b) $\frac{1}{100}$ =10$^{-2}$ =-2 

Bài 3: Cho a > 0; a ≠ 1. Tính… 

Đáp án: 

a) 1 =c⟺a$^{c}$=1⟺c=0

=> 1 =0

b) a =c⟺a$^{c}$=a⟺c=1

=> a =1

c) a$^{c}$ =b⟺a$^{b}$=a$^{c}$⟺b=c

=> a$^{c}$ =c

d) a$^{b}$ =c⟺b =c ⟺b=c

=> a$^{b}$ =b

Bài 4: Tính...

Đáp án: 

a) $\sqrt[5]{16}$ =4$^{\frac{2}{5}}$ =$\frac{2}{5}$

b) 36$^{8}$ =(6$^{2}$)$^{8}$ =(6$^{8}$)$^{2}$=64

Bài 5: Giải bài toán được nêu ở phần mở đầu…

Đáp án: 

Nước cam có độ pH là: pH=-log [H+] =-log 10$^{-4}$ =4

Nước dừa có độ pH là: pH=-log [H+] =-log 10$^{-5}$ =5

II. Một số tính chất của phép tính lôgarit

Bài 1: Cho m=2$^{7}$;n=2$^{3}$…

Đáp án: 

a) (mn) =2$^{7}$.2$^{3}$ =2$^{10}$ =10

m +n =2$^{7}$ +2$^{3}$ =10 

=> (mn) =m +n

b) ($\frac{m}{n}$)=($\frac{2^{7}}{2^{3}}$) =2$^{4}$ =4

m -n =2$^{7}$ -2$^{3}$ =4 

=> ($\frac{m}{n}$) =m -n

Bài 2: Tính…

Đáp án: 

a) ln ($\sqrt{5}$+2) +ln ($\sqrt{5}$-2) =ln ($\sqrt{5}$+2)($\sqrt{5}$-2) =ln 1 =0

b) log 400 -log 4 =log $\frac{400}{4}$ =2

c) 8 +12 +$\frac{32}{3}$ =($\frac{8.12.32}{3}$)  =5 

Bài 3: Cho a > 0; a ≠ 1; b > 0, α là một số thực…

Đáp án: 

a) Ta có: a$^{b}$ =b ⬄ a$^{b^{\alpha }}$ =b$^{\alpha }$

Đặt b =y => b=a$^{y}$

Có a$^{\alpha .b}$ =a$^{\alpha .y}$=(a$^{y}$)$^{\alpha }$=b$^{\alpha }$

=> a$^{\alpha .b}$ =b$^{\alpha }$

b) Ta có: a$^{\alpha .b}$ =b$^{\alpha }$ => b$^{\alpha }$ =$\alpha $b

Bài 4: Tính…

Đáp án: 

25 -50 +$\frac{1}{2}$.36  

=$\frac{25}{50}$ . 36$^{\frac{1}{2}}$=1 

Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c…

Đáp án: 

a) Ta có: c=b$^{c}$ ⟺c =b$^{c}$

⟺c =c  .b (đpcm)

b) Từ c =c  .b => c =$\frac{c}{b}$

Bài 6: Tính…

Đáp án: 

Ta có: 64 =4$^{3}$ =$\frac{1}{3}$4$^{3}$ =$\sqrt[3]{4^{3}}$ =4  

=> 5$^{64}$ =5$^{4}$ =4

III. Sử dụng máy tính cầm tay để tính Lôgarit

Bài 1: Sử dụng máy tính cầm tay để tính:…

Đáp án: 

19 ≈ 1,5131 

26 ≈ 1,3587 

IV. Bài tập

Bài 1: Tính…

Đáp án: 

a) log$_{12}$12$^{3}$=3 

b) 0,25 =0,5$^{2}$ =2

c) a$^{-3}$ =-3 (a>0, a≠1)

Bài 2: Tính…

Đáp án: 

a) 85 =2$^{5^{3}}$ =125

b) ($\frac{1}{10}$)$^{log 81}$=10$^{log 81^{-1}}$=$\frac{1}{81}$

c) 5$^{16}$ =5$^{4}$ =4

Bài 3: Cho b =2. Tính…

Đáp án: 

a) (a$^{2}$b$^{3}$) =a$^{2}$ +b$^{3}$ =2+3b =8

b) $\frac{a\sqrt{2}}{b\sqrt[3]{b}}$==$\frac{a^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{4}{3}}}$=$\frac{3}{2}$-b$^{\frac{4}{3}}$=-$\frac{7}{6}$

c) (2b)+($\frac{b^{2}}{2}$) =2 +b +2b -2 =3b =6

Bài 4: Cho 2 số thức a, b thỏa mãn…

Đáp án: 

P=3log a +2log b =log a$^{3}$ +log b$^{2}$ =log a$^{3}$b$^{2}$ =log 100 =10 

Bài 5: Trong nuôi trồng thủy sản…

Đáp án: 

Độ pH của đầm là: pH=-log [H+] =-log ( 8.10$^{-8}$)≈7,1

Vậy độ pH không phù hợp cho tôm sú phát triển.

Bài 6: Một vi khuẩn có khối lượng khoảng 5.10$^{-13}$ gam…

Đáp án: 

Gọi t là số phút tế bào vi khuẩn này sinh ra đạt tới khối lượng của Trái Đất

Khi đó ta có:

 2$^{\frac{t}{20}}$.5.10$^{-13}$=6.10$^{27}$.2$^{\frac{t}{20}}$=1,2.10$^{40}$

<=> $\frac{t}{20}$≈133⇔t≈2660

Vậy mất khoảng $\frac{2660}{60}$≈44 giờ thì tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất.