I. KHÁI NIỆM LÔGARIT

1. Định nghĩa

HĐ1

a) $3^{x}=9 => x=2$

$3^{x}=\frac{1}{9} => x=-2$

b) Có một số thực x duy nhất sao cho: $3^{x}=5$

Định nghĩa: Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để $a^{c}=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là $log_{a}b$, nghĩa là

$c=log_{a}b\Leftrightarrow a^{c}=b$

$log_{a}b$ xác định khi và chỉ khi a > 0, a ≠ 1 và b > 0.

Ví dụ 1: (SGK – tr.34)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34)

Luyện tập 1

a) $log_{3}81=4$

b) $log_{10}\frac{1}{100}=-2$

2. Tính chất

HĐ2

a) $log_{a}1=0$

b) $log_{a}a=1$

c) $log_{a}a^{c}=c$

d) $a^{log_{a}b}=b$

Tính chất: Với số thực dương a khác 1, số thực dương b và số thực c, ta có:

log$_{a}$1 = 0;         log$_{a}$a  = 1;         log$_{a}a^{c}$ = c;         $a^{log_{a}b}=b$

Ví dụ 2: (SGK – tr.35)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35)

Luyện tập 2

a) $log_{4}\sqrt[5]{16}=log_{4}(4^{2})^{\frac{1}{5}}=log_{4}4^{\frac{2}{5}}=\frac{2}{5}$

b) $36^{log_{6}8}=6^{log_{6}8}.6^{log_{6}8}=8.8=64$

3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

Khái niệm

• Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là logb hay lgb .
• Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là lnb .

Ví dụ 3: (SGK – tr.35)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35)

Luyện tập 3

Độ pH của cốc nước cam là: $-log_{}10^{-4}=4$

Độ pH của cốc nước dừa là: $-log_{}10^{-5}=5$

II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH LÔGARIT

1. Lôgarit của một tích, một thương

HĐ3

a) $log_{2}mn=10$

$log_{2}m+log_{2}n=10$

=> Hai kết quả bằng nhau

b) $log_{2}\frac{m}{n}=4$

$log_{2}m-log_{2}n=4$

=> Hai kết quả bằng nhau

Công thức: Với ba số thực dương a, m, n và a ≠ 1, ta có:

• $log_{a}(mn)=log_{a}m+log_{a}n$;
• $log_{a}(\frac{m}{n})=log_{a}m-log_{a}n$.
• $log_{a}\left (\frac{1}{b}  \right )=-log_{a}b$ (a > 0, a ≠ 1, b > 0).

Ví dụ 4: (SGK – tr.36)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36)

Chú ý:

Với n số tực dương b₁, b₂, …, b_n:

$log_{a}(b_{1}b_{2}...b_{n})=log_{a}b_{1}+log_{a}b_{2}+...+log_{a}b_{n}$  (a > 0, a ≠ 1)

Luyện tập 4

a) $ln(\sqrt{5}+2)+ln(\sqrt{5}-2)$

$=ln ((\sqrt{5}+2).(\sqrt{5}-2))$

$=ln(5-4)=ln1=0$

b) $log400-log4=log\left ( \frac{400}{4} \right )=log100=2$

c) $log_{4}8+log_{4}12+log_{4}\frac{32}{3}$

$=log_{4}\left ( 8\cdot 12\cdot \frac{32}{3} \right )$

$=log_{4}1024=5$

2. Lôgarit của một lũy thừa

HĐ4

a) Tính $a^{log_{a}b^{\alpha }}=b^{\alpha }$

$a^{\alpha log_{a}b}=b^{\alpha}$

b) $log_{a}b^{\alpha }=\alpha log_{a}b$

Ghi nhớ: Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số thực α, ta có: $log_{a}b^{\alpha }=\alpha log_{a}b$

Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta có: $log_{a}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}log_{a}b$

Ví dụ 5: (SGK – tr.36)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36)

Luyện tập 5

$2log_{3}5-log_{3}50+\frac{1}{2}log_{3}36$

$=log_{3}5^{2}-log_{3}50+log_{3}6$

$=log_{3}\frac{1}{2}+log_{3}6=log_{3}3=1$

3. Đổi cơ số của lôgarit

HĐ5

a) $log_{c}b=log_{a}b.log_{c}a $

<=> $a^{log_{c}b}=a^{log_{a}b.log_{c}a }$

<=> $c^{log_{c}b}=(c^{log_{c}a})^{log_{a}b}$

<=> $b=a^{log_{a}b}$

<=> $b=b$ (luôn đúng)

b) Từ$ log_{c}b=log_{a}b.log_{c}a $ 

<=> $log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

Ghi nhớ: Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có:

$log_{b}c=\frac{log_{a}c}{log_{a}b}$

Nhận xét: Với a > 0 và a ≠ 1, b > 0  và b ≠ 1, c > 0, α ≠ 0, ta có những công thức sau:

• $log_{a}b.log_{b}c=log_{a}c$
• $log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$
• $log_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }log_{a}b$

Ví dụ 6: (SGK – tr.37)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.37)

Luyện tập 6

$5^{log_{125}64}=5^{log_{5}64^{\frac{1}{3}}}=64^{\frac{1}{3}}=4$

III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH LÔGARIT

Chú ý: Với máy tính không có phím log thì để tính $log_{5}3$, ta có thể dùng công thức đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số e.

Ví dụ 6: (SGK – tr.38)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38)

Luyện tập 7

$log_{7}19≈1,5$

$log_{11}26≈1,3$