BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

I. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Bài 1: Trong bài toán ở phần mở đầu, giả sử r = 1,14%/năm

a) Viết phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lũy thừa?

Đáp án: 

a) Phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu là:

S=2A =A.e$^{1,14^{o}/_{o}.t}$⟺2=e$^{0,0114.t}$ ⟺ln 2 =0,0114.t 

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là t, nằm trong lũy thừa của số e, tức là e$^{0,0114.t}$

Bài 2: Cho hai ví dụ về phương trình mũ

Đáp án: 

1) 4$^{x+1}$=64      

2) 7$^{2x}$=343

Bài 3:

a) Vẽ đồ thị hàm số y=3$^{x}$...

Đáp án: 

a) Hàm số y=3$^{x}$ có cơ số 3>0 

+ Ta có bảng sau

=> Đồ thị của hàm số y=3$^{x}$ đi qua các điểm A(-1;$\frac{1}{3}$); B(0;1); C(1;3); D(2;9)

+ Đường thẳng y=7 đi qua điểm (0;7) và song song với Ox.

b) Đồ thị hàm số y=3$^{x}$ giao đường thẳng y=7 tại 1 điểm M duy nhất.

Vậy phương trình 3$^{x}$=7 có 1 nghiệm duy nhất.

Bài 4: Giải mỗi phương trình sau…

Đáp án: 

a) 9$^{16-x}$=27$^{x+4}$

⟺3$^{2(16-x)}$=3$^{3(x+4)}$

⟺32-2x=3x+12⟺x=4 

b) 16$^{x-2}$=0,25.2$^{-x+4}$

⟺2$^{4(x-2)}$=2$^{-2}$.2$^{-x+4}$ 

⟺4x-2=-x+2⟺x=2 

Bài 5: Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức…

Đáp án: 

a) Phương trình thể hiện nồng độ x trong mẫu nước sông là:

-log [H+] =6,1⟺-log x =6,1

b) Phương trình có ẩn là x và nằm ở vị trí hệ số của lôgarit.

Bài 6: Cho hai ví dụ về phương trình logarit 

Đáp án: 

1) x+1=64    

2) (x$^{2}$+x+1)=4  

Bài 7:

a) Vẽ đồ thị hàm số y=x ...

Đáp án: 

a) Vì hàm số x có cơ số 4>1 

+ Ta có bảng sau

=> Đồ thị hàm số y=x đi qua các điểm A($\frac{1}{4}$;-1); B(1;0); C(4;1); D(8;$\frac{3}{2}$).

+ Đường thẳng y=5 đi qua điểm (0;5) và song song với trục Ox.

b) Đồ thị hàm số y=x và đường thẳng y=5 cắt nhau tại 1 điểm M duy nhất.

Vậy phương trình x =5 có 1 nghiệm duy nhất.

Bài 8: Giải mỗi phương trình sau…

Đáp án: 

a) 2x-4 +(x-1) =0

⟺$\left\{\begin{matrix}x>2 & \\ (2x-4)+(x-1)=0 & \end{matrix}\right.$ 

⟺$\left\{\begin{matrix}x>2 & \\ \frac{2x-4}{x-1}=0 & \end{matrix}\right.$

⟺$\left\{\begin{matrix}x>2 & \\ 2x-4=x-1 & \end{matrix}\right.$ 

⟺$\left\{\begin{matrix}x>2 & \\ x=3 & \end{matrix}\right.$  (tmđk) 

b) x +x =3 (ĐKXĐ: x>0)

⟺x +x =3 

⟺x +x$^{\frac{1}{2}}$ =3 

⟺(x.x$^{\frac{1}{2}}$)=3   

⟺x$^{\frac{3}{2}}$ =8  

⟺x=4 (tmđk)

II. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Bài 1: Quan sát Hình 11 và nêu nhận xét…

Đáp án: 

+ Hàm số y=($\frac{1}{2}$)$^{x}$ nghịch biến trên R.

+ Để ($\frac{1}{2}$)$^{x}$>2 ⬄ x<-1.

Bài 2: Cho hai ví dụ về bất phương trình mũ cơ bản 

Đáp án: 

1) 3$^{x} \geq $27  

2) 4$^{x-1}$=256

Bài 3: Giải mỗi bất phương trình sau…

Đáp án: 

a) 7$^{x+3}$<343

⟺x+3<343  

⟺x<0 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-∞;0).

b) ($\frac{1}{4}$)$^{x}$≥3

⟺x≤3  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (-∞;3 ].

Bài 4: Quan sát Hình 12 và nêu nhận xét…

Đáp án: 

• Hàm số y=x đồng biến trên tập xác định.

• Quan sát đồ thị ta thấy, để x >1 thì x>2.

Bài 5: Cho hai ví dụ về bất phương trình logarit cơ bản 

Đáp án: 

1) log x >15   

2) (x-2) $\leq $ 8

Bài 6: Giải mỗi bất phương trình sau…

Đáp án: 

a) x <2

⟺0<x<9 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0;9).

b) (x-5) ≥-2

⟺0<x-5≤($\frac{1}{4}$)$^{-2}$

⟺5<x≤21 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (5;21]

III. Bài tập

Bài 1: Giải mỗi phương trình sau…

Đáp án: 

a) (0,3)$^{x-3}$=1⇔x-3=1 ⇔x=3      

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3 

b) 5$^{3x-2}$=25 <=> 3x-2=25 ⇔x=$\frac{4}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = $\frac{4}{3}$

c) 9$^{x-2}$=243$^{x+1}$⇔2(x-2)=5(x+1)⇔x=-3       

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -3                                                   

d) ( x+1)=-3⇔x+1=($\frac{1}{2}$)$^{-3}$⇔x=7

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 7

e) ( 3x-5)=( 2x+1) (ĐKXĐ: x>$\frac{5}{3}$)

= 2x+1 = 6 (tmđk)                           

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6 

g) ( x+9)=( 2x-1) (ĐKXĐ: x>$\frac{1}{2}$)

= 2x-1 = 10 (tmđk)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 10

Bài 2: Giải mỗi bất phương trình sau…

Đáp án: 

a, 3$^{x}$>$\frac{1}{243}$⇔x>-5                                                        

b, ($\frac{2}{3}$)$^{3x-7}$≤$\frac{3}{2}$⇔x≥2

c, 4$^{x+3}$≥32$^{x}$⇔2(x+3)≥5x⇔x≤2                                                         

d, log ( x-1)<0 (ĐKXĐ: x > 1)

⇔1<x<2 

e, ( 2x-1)≥( x+3) (ĐKXĐ: x > $\frac{1}{2}$)

$\frac{1}{2}$<x≤4                                

g, ln ( x+3)≥ln ( 2x-8) (ĐKXĐ: x > 4)

⇔4< x ≤ 11 

Bài 3: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất x%/năm (x > 0). Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm x, biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền về trong suốt quá trình gửi. 

Đáp án: 

Lãi suất người đó gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn 12 tháng là:

100.(1+$\frac{x}{100}$)$^{3}$=119,1016 ⟺1+$\frac{x}{100}$=1,06

⟺$\frac{x}{100}$=0,06⟺x=6 (%)

Bài 4: Sử dụng công thức tính mức cường độ âm L ở Ví dụ 14, hãy tính mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được, biết rằng giá trị cực đại của mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được là 130 dB. 

Đáp án: 

Công thức tính mức cường độ âm là: L=10log $\frac{I}{10^{-12}}$

Theo đề bài:

130≥L ⟺ 130≥10log$\frac{I}{10^{-12}}$

⟺log $\frac{I}{10^{-12}}$≤13 ⟺log $\frac{I}{10^{-12}}$ log 1.10$^{13}$  

⟺$\frac{I}{10^{-12}}$≤1.10$^{13}$⟺I≤10

Vậy cường độ âm mà tai người có thể chịu được là 10 W/m$^{2}$.