I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. Phương trình mũ

HĐ1

a) Có S = 2A

$2A=A.e^{0,0114.t}$

$=>2=e^{0,0114.t}$

$=> ln2=0,0114.t$

b) Ẩn trong phương trình trên là t, nằm trong lũy thừa của số e, tức là $e^{0,0114.t}$.

Khái niệm: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.

Ví dụ 1: (SGK – tr.48)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.48)

Luyện tập 1

(1) $4^{2x+1}=16$

(2 )$6^{2x+3}=6^{x}$

HĐ2

a) Ta có bảng sau:

Đường thẳng y = 7 đi qua điểm (0; 7) và song song với Ox.

b) Hai đồ thị $y = 3^{x}$ và $y = 7$ có 1 giao điểm. Vậy số nghiệm của phương trình này là 1

Ghi nhớ: Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng a$^{x}$ = b (a > 0, a ≠ 1)

• Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = b .

Nhận xét: Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 thì $a^{f(x)}$ = b <=> f(x) = b .

Ví dụ 2: (SGK – tr.49)

Hướng dẫn giải (SGK)

Ví dụ 3: (SGK – tr.49)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49)

Chú ý:

Với a > 0, a ≠ 1 thì: $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$

Ví dụ 4: (SGK – tr.49)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49)

Luyện tập 2

a) $9^{16-x}=27^{x+4}$

$<=> 3^{2(16-x)}=3^{3(x+4)}$

$<=> 2(16-x)=3(x+4)$

$<=>x=4$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

b) $16^{x-2}=0,25.2^{-x+4}$

$<=>2^{4(x-2)}=2^{-2}.2^{-x+4}$

$<=> 4(x-2)=2-x$

$<=> x=2$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2

2. Phương trình lôgarit

HĐ3

a) Có $pH=-log[H^{+}]$ => $[H^{+}] = 10^{-pH}$

Thay giá trị pH = 6,1 vào phương trình trên, ta có: $[H^{+}] = 10^{-6,1}$

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là x và nằm ở vị trí hệ số của lôgarit.

Khái niệm: Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Ví dụ 5: (SGK – tr.50)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50)

Luyện tập 3

$log_{4}(2x-1)=16$

$log_{5}(3x-1)=25$

HĐ4

a) Vì hàm số x có cơ số 4 > 1 

• Đồ thị hàm số y = x đi qua các điểm $A\left ( \frac{1}{4};-1 \right );B(1;0);C(4;1);D\left ( 8;\frac{3}{2} \right )$.
• Đường thẳng y = 5 đi qua điểm (0; 5) và song song với trục Ox.

Minh họa:

b) Đồ thị hàm số y = x và đường thẳng y = 5 cắt nhau tại 1 điểm M duy nhất.

=> Phương trình x = 5 có 1 nghiệm duy nhất.

Ghi nhớ: 

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng x = b (a > 0, a ≠ 1)

Phương tình đó có nghiệm duy nhất là x = a$^{b}$

Chú ý: Với a > 0, a ≠ 1 thì f(x) = b <=> f(x) = a$^{b}$.

Ví dụ 6: (SGK – tr.50)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50)

Ví dụ 7: (SGK – tr.50)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50)

Chú ý

Cho a > 0, a ≠ 1. Ta có: f(x) = g(x)

<=> f(x) > 0   và   f(x) = g(x)

Ví dụ 8: (SGK – tr.51)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.51)

Luyện tập 4

a) $log_{5}(2x-4)+log_{\frac{1}{5}}(x-1)=0$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}2x-4>0\\ x-1>0\end{matrix}\right.$

$=> x>2$

$<=> log_{5}(2x-4)+log_{5^{-1}}(x-1)=0$

$<=> log_{5}(2x-4)=log_{5}(x-1)$

$<=> 2x-4=x-1$

$<=> x=3$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3

b) $log_{2}x+log_{4}x=3$

ĐKXĐ: $x>0$

$<=> log_{2}x+log_{2}x^{\frac{1}{2}}=3$

$<=> log_{2}(x.x^{\frac{1}{2}})=3$

$<=> log_{2}(x^{\frac{3}{2}})=log_{2}8$

$<=> x^{\frac{3}{2}}=8$

$<=> x=4$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. Bất phương trình mũ

HĐ5

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} >2$

<=>$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} >\left ( \frac{1}{2} \right )^{-1} $

$<=> x<-1$

Khái niệm

• Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.
• Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình mũ có một trong các dạng sau:

a$^{x}$ > b; a$^{x}$<b; a$^{x}$ ≥ b; a$^{x}$ ≤ b (a > 0, a ≠ 1)

Ví dụ 9: (SGK – tr.51)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.51)

Luyện tập 5

$2^{x}>5$; $3^{x}<12$

Cách giải bất phương trình mũ

Xét bất phương trình mũ: a$^{x}$ > b (a > 0, a ≠ 1)

Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R (vì a$^{x}$ > 0 ≥ b, ∀x ∈ R).

Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a$^{x}$ > a$^{b}$

• Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > b
• Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < b .

Chú ý: 

• Với a > 1 thì a$^{x}$ > a$^{\alpha }$ <=> x > α
• Với 0 < a < 1 thì a$^{x}$ > a$^{\alpha }$ <=> a < α

Ví dụ 10: (SGK – tr.52)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.52)

Luyện tập 6

a) $7^{x+3}<343$

$<=> 7^{x+3}<7^{3}$

$<=> x+3<3$

$<=> x<0$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-∞; 0).

b) $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\geq 3$

$<=> x\leq log_{\frac{1}{4}}3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (-∞;3 ].

Ví dụ 11: (SGK – tr.52)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53)

2. Bất phương trình lôgarit

HĐ6

Hàm số y = x đồng biến trên tập xác định.

Quan sát đồ thị ta thấy, để x > 1 thì x > 2.

Ví dụ 12: (SGK – tr.53)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53)

Luyện tập 7

$log_{2}x>4$; $log_{4}(x+1)>16$

Cách giải bất phương trình lôgarit

Xét bất phương trình x > b, (a > 0, a ≠ 1)

Bất phương trình tương đương với x > a$^{b}$

• Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > a$^{b}$
• Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là 0 < x < a$^{b}$.

Chú ý:

• Với a > 1 thì x > α <=> x > α
• Với 0 < a < 1 thì x > α <=> x < α 

Ví dụ 13: (SGk – tr.54)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54)

Luyện tập 8

a) $log_{3}x<2$

$<=>0<x<3^{2}$

$<=>0<x<3^{2}$=9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 9).

b) $log_{\frac{1}{4}}(x-5)\geq -2$

$<=> o<x-5\leq 6$

$<=> 5<x\leq 21$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (5; 21]

Ví dụ 14: (SGK – tr.54)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54)