Bài 10 trang 72 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho f=f(x),g=g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (fg)′=fg′.

B. (fg)′=f′g′.

C. (fg)′=f′g−fg′.

D. (fg)′=f′g+fg′.

Lời giải chi tiết

Cho f=f(x),g=g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

(fg)′=f′g+fg′.

Đáp án D.

Bài 11 trang 72 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho f=f(x),g=g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định và g=g(x)≠0,g′=g′(x)≠0. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $ (\frac{f}{g})'=\frac{f'}{g'}$

B. $ (\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg’}{g^{2}}$

C. $ (\frac{f}{g})'=\frac{f'}{g^{2}}$

D. $ (\frac{f}{g})'=\frac{f'g+fg'}{g^{2}}$

Lời giải chi tiết

Cho f=f(x),g=g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định và g=g(x)≠0,g′=g′(x)≠0Ta có: $ (\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg’}{g^{2}}$

Đáp án B.

Bài 12 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f=cos3x.. Khi đó, f′(x) bằng:

A. sin3x.

B. −sin3x

C. −3sin3x

D. 3sin3x.

Lời giải chi tiết

f′(x)=−(3x)′sin3x=−3sin3x.

Đáp án C.

Bài 13 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=sin($x^{2}$). Khi đó, f′(x) bằng:

A. 2xcos($x^{2}$).

B. cos($x^{2}$).

C. $x^{2}$cos($x^{2}$).

D. 2xcos(2x).

Lời giải chi tiết

f′(x)=($x^{2}$)′cos($x^{2}$)=2xcos($x^{2}$).

Đáp án A.

Bài 14 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=$ \frac{1}{2x+3}$. Khi đó f’(x) bằng:

A. -$ \frac{1}{(2x+3)^{2}}$

B. -$ \frac{2}{(2x+3)^{2}}$

C. $ \frac{2}{(2x+3)^{2}}$

D. $ \frac{1}{(2x+3)^{2}}$

Lời giải chi tiết

f′(x) )=$ \frac{1}{2x+3}$’=−$ \frac{(2x+3)'}{(2x+3)^{2}}$=-$ \frac{2}{(2x+3)^{2}}$

Đáp án B.

Bài 15 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=$e^{2x}$. Khi đó, f′(x) bằng:

A. $e^{2x}$.

B. $2e^{x}$.

C. $2xe^{2x}$.

D. $2e^{2x}$.

Lời giải chi tiết:

f′(x)=($e^{2x}$)′=(2x)′.$e^{2x}$=2.$e^{2x}$.

Đáp án D.

Bài 16 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=ln(3x). Khi đó, f′(x) bằng:

A. $ \frac{1}{3x}$

B. $ \frac{1}{x}$

C. $ \frac{3}{x}$

D. -$ \frac{1}{x}$

Lời giải chi tiết

f′(x)=(ln3x)′=$ \frac{(3x)'}{3x}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$

Đáp án D.

Bài 17 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0=2

a) f(x)=$ e^{x^{2}+2x}$

b) g(x)=$ \frac{3^{x}}{2^{x}}$

c) h(x)=$2^{x}.3^{x+2}$;

d) k(x)=$log_{3}(x^{2}-x)$

Lời giải chi tiết

a)f′(x)=$ e^{x^{2}+2x}$′=($x^{2}$+2x)′. $ e^{x^{2}+2x}$=(2x+2). $ e^{x^{2}+2x}$

Đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}$=2: f′(2)=(2.2+2).$ e^{2^{2}+2.2}$=6.e8.

b) g′(x)=($ \frac{3^{x}}{2^{x}}$)′=$((\frac{3}{2})^{x})'=(\frac{3}{2})^{x}.ln\frac{3}{2}$

Đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}$=2: g′(2)=$ (\frac{3}{2})^{2}.ln\frac{3}{2}=\frac{9}{4}.ln\frac{3}{2}$

c) $h′(x)=(2^{x}.3^{x+2})′=((2^{x})′.3^{x+2}+(3^{x+2})′.(2^{x})′=2xln2.3^{x+2}+3^{x+2}.ln3.2^{x}$

= $2^{x}.3^{x+2}$(ln2+ln3)

Đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}=2$:

h′(2)=$2^{2}.3^{2}+2(ln2+ln3)=324.(ln2+ln3)$.

d) k′(x)=($log_{3}(x^{2}-x$))′=$ \frac{(x^{2}-x)'}{ln3.log_{3}(x^{2}-x)}=\frac{2x-1}{ln3.log_{3}(x^{2}-x)}$

Đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}=2$

k′(2)=$ \frac{2.2-1}{ln3.log_{3}(2^{2}-2)}=\frac{3}{ln3.log_{3}2}=\frac{3}{ln2}$

Bài 18 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) f(x)=2cos($\sqrt{x}$);

b) g(x)=tan($x^{2}$);

c) h(x)=$cos^{2}(3x)-sin^{2}(3x)$;

d) k(x)=$sin^{2}(x)+e^{x}.\sqrt{x}$.

Lời giải chi tiết

a) f′(x)=(2cos($\sqrt{x}$))′=2($\sqrt{x}$)′.(−sin($\sqrt{x}$))=$ \frac{2}{2\sqrt{x}}$.(−sin($\sqrt{x}$))=−$ \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

b) g′(x)=(tan($x^{2}$))′=$ \frac{(x^{2})'}{cos^{2}(x^{2})}=\frac{2x}{cos^{2}(x^{2})}$

c) Ta có:  $h(x)=cos^{2}(3x)-sin^{2}(3x)=cos(6x)$.

⇒ h′(x) = (cos(6x))′=(6x)′.(−sin(6x))=−6sin(6x)

d) k′(x)=($sin^{2}(x)$)′+($e^{x}$.$ \sqrt{x}$)′=2sinx(sinx)′+($e^{x}$)′.$ \sqrt{x}$+($ \sqrt{x}$)′.$e^{x}$

= 2sinxcosx+$e^{x}.\sqrt{x}$+$ \frac{e^{x}}{2\sqrt{x}}$

Bài 19 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=$2^{3x-6}$. Giải phương trình f′(x)=3ln2.

Lời giải chi tiết

f′(x)=3ln2⇔($2^{3x-6}$)′=3ln2 ⇔ $3.2^{3x-6}.ln2=3ln2$ ⇔ $2^{3x-6}=1$ ⇔ 3x−6=0 ⇔ x=2.

Bài 20 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Giải bất phương trình f′(x)<0, biết:

a) $f(x)=x^{3}-9x^{2}+24x$;

b) $f(x)=-log_{5}(x+1)$.

Lời giải chi tiết:

a) f′(x)<0 ⇔ $(x^{3}-9x^{2}+24x)′<0$ ⇔ $3x^{2}-18x+24<0$ ⇔ 3(x−2)(x−4)<0

⇔2<x<4

Tập nghiệm của bất phương trình là: (2;4).

b) f′(x)<0 ⇔ ($-log_{5}(x+1)$)′<0⇔−$ \frac{1}{ln5.log_{5}(x+1)}$<0

⇔ $ln5.log_{5}(x+1)>0$ ⇔ $log_{5}(x+1)>0$ ⇔ x+1>1 ⇔ x>0

Tập nghiệm của bất phương trình là: (0;+∞)

Bài 21 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định, hàm số g(x) được xác định bởi $g(x)=[f(x)]^{2}+2xf(x)$. Biết f′(0)=f(0)=1. Tính g′(0).

Lời giải chi tiết:

Ta có: $g(x)=[f(x)]^{2}+2xf(x)$ ⇒ g′(x)=2f(x).f′(x)+2f(x)+2x.f′(x)

⇒g′(0)=2f(0).f′(0)+2f(0)+2.0.f′(0)=2.1.1+2.1+0=4.

Bài 22 trang 73 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số $y=x^{2}+3x$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có:

a) Hoành độ bằng −1;

b) Tung độ bằng 4.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f′(x)=(x^{2}+3x)′=2x+3$.

a) Gọi $M(x_{0};y_{0})$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có hoành độ bằng −1.

⇒ $x_{0}$ = −1; $y_{0}$ = −2 ⇒ M(−1;−2)

⇒ f′(−1)=2.(−1)+3=1

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(−1;−2) là:

y=f′(−1)(x−(−1))+f(−1)⇔y=1.(x+1)−2⇔y=x−1.

b) Gọi N($x_{0};y_{0}$) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có tung độ bằng 4.

⇒ $y_{0}$ = 4 ⇒ $x_{0}^{2}+3x_{0}=4$ ⇒ $x_{0}=1$ hoặc $x_{0}$ = −4 ⇒ $N_{1}$(1;4); $N_{2}$(−4;4)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $N_{1}(1;4)$ là:

y = f′(1)(x−1) + f(1) ⇔y = 5(x−1)+4 ⇔ y = 5x−1.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $N_{2}$(−4;4) là:

y = f′(−4)(x+4)+f(−4) ⇔ y=−5(x+4)+4 ⇔ y=−5x−16.

Bài 23 trang 74 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số y=$ \frac{x-3}{x+2}$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) d song song với đường thẳng y=5x−2;

b) d vuông góc với đường thẳng y=−20x+1;

Lời giải chi tiết

Ta có: y′=$ \frac{x+2-(x-3)}{(x+2)^{2}}=\frac{5}{(x+2)^{2}}$

a) Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y=5x−2 nên tiếp tuyến có hệ số góc k=5.

Gọi M($x_{0};y_{0}$) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị.

⇒y′($x_{0}$)=5⇔$ \frac{5}{(x+2)^{2}}$=5⇔$(x_{0}+2)^{2}=1$⇔$x_{0}=-1;x_{0}=-3$

Với $x_{0}$=−1⇒ tiếp điểm $M_{1}$(−1;−4) ⇒ phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M_{1}$(−1;−4) là:

y=f′(−1)(x+1)+f(−1) ⇔ y = 5(x+1)−4 ⇔ y = 5x+1.

Với $x_{0}$=−3⇒ tiếp điểm $M_{2}(−3;6)$ ⇒ phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M_{2}$(−3;6) là:

y=f′(−3)(x+3)+f(−3) ⇔ y=5(x+3)+6 ⇔ y=5x+21.

b) Vì tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=−20x+1 nên tiếp tuyến có hệ số góc k=$ \frac{1}{20}$.

Gọi N($x_{0};y_{0}$) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị.

⇒y′($x_{0}$)=$ \frac{1}{20}$⇔$ \frac{5}{(x_{0}+2)^{2}}$=$ \frac{1}{20}$⇔$(x_{0}+2)^{2}=100$ ⇔ $x_{0}=8;x_{0}=-12$

Với $x_{0}=8$ ⇒ tiếp điểm $M_{1}(8;\frac{1}{2}$)

⇒ phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M_{1}(8;\frac{1}{2}$) là:y=f′(8)(x−8)+f(8)⇔y=$ \frac{1}{20} $(x−8)+$ \frac{1}{2}$⇔y=$ \frac{1}{20}$x+$ \frac{1}{10}$.

Với $x_{0}=-12$ ⇒ tiếp điểm $M_{2}$(−12;$ \frac{3}{2}$)⇒phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M_{2}$(−12;$ \frac{3}{2}$) là:

y=f′(−12)(x+12)+f(−12)⇔y=$ \frac{1}{20} $(x+12)+$ \frac{3}{2}$⇔y=$ \frac{1}{20}$x+$ \frac{21}{10}$.

Bài 24 trang 74 SBT Toán 11 CD tập 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)=$ \frac{1}{3}t^{3}-3t^{2}+8t+2$, trong đó t>0,t tính bằng giây, s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s).

Lời giải chi tiết

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là: v(t)=s′(t)=$t^{2}-6t+8$.

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s) là:

$v(5)=s′(5)=5^{2}-6.5+8=3$ (m/s).

Bài 25 trang 74 SBT Toán 11 CD tập 2: Một mạch dao động điện từ LC có lượng điện tích dịch chuyển qua tiết diện thẳng của dây xác định bởi hàm số Q(t)=10−5sin(2000t+$ \frac{\pi }{3}$), trong đó t>0, tính bằng giây, Q tính bằng Coulomb. Tính cường độ dòng điện tức thời I (A) trong mạch tại thời điểm t=$ \frac{\pi }{1500} $(s) biết I(t)=Q′(t).

Lời giải chi tiết

Cường độ dòng điện tức thời I (A) trong mạch tại thời điểm t là:

I(t)=Q′(t)=10−5.2000cos(2000t+$ \frac{\pi }{3}$)=0,02cos(2000t+$ \frac{\pi }{3}$).

Cường độ dòng điện tức thời I (A) trong mạch tại thời điểm t=$ \frac{\pi }{1500} $(s) là:

I($\frac{\pi }{1500}$)=Q′($ \frac{\pi }{1500}$)=0,02cos(2000.$ \frac{\pi }{1500}$+$ \frac{\pi }{3}$)=0,02cos$ \frac{5\pi }{3}$=0,01(A).

Bài 26 trang 74 SBT Toán 11 CD tập 2: Năm 2010, dân số ở một tỉnh D là 1 038 229 người. Tính đến năm 2015, dân số của tỉnh đó là 1 153 600 người. Cho biết dân số của tỉnh D được ước tính theo công thức S(N)=$Ae^{Nr}$ (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm được làm tròn đến hàng phần nghìn). Tốc độ gia tăng dân số (người/năm) vào thời điểm sau 1 năm kể từ năm 2010 được xác định bởi hàm số S′(N). Tính tốc độ gia tăng dân số của tỉnh D vào năm 2023 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị người/năm), biết tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi.

Lời giải chi tiết

Ta có: S(N)=$Ae^{Nr}$⇒Nr=ln($\frac{S(N)}{A}$).

Suy ra tỉ lệ tăng dân số hàng năm:

r=$ \frac{1}{N}$.ln($\frac{S(N)}{A}$)=$ \frac{1}{2015-2010}$.ln($\frac{1153600}{1038229}$)≈0,021.

⇒S(N)=$Ae^{Nr}=Ae^{0,021N}$ ⇒ $S′(N)=0,021Ae^{0,021N}$

Vào năm 2023 ta có: N=2023−2010=13.

Tốc độ gia tăng dân số của tỉnh D vào năm 2023:

S′(13)=0,021.1038229.$e^{0,021.13}$ ≈28647 (người/năm).

Bài 27 trang 74 SBT Toán 11 CD tập 2: Một tài xế đang lái xe ô tô, ngay khi phát hiện có vật cản phía trước đã phanh gấp lại nhưng vẫn xảy ra va chạm, chiếc ô tô để lại vết trượt dài 20,4 m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình đạp phanh, ô tô chuyển động theo phương trình s(t)=20t−$ \frac{5}{2}t^{2}$,trong đó s(m) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh, t(s) là thời gian tính từ lúc bắt đầu phanh (0≤t≤4).

a) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh. Hãy cho biết xe ô tô trên có chạy quá tốc độ hay không, biết tốc độ giới hạn cho phép là 70 km/h.

b) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm?

Lời giải chi tiết

Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm t là: v(t)=s′(t)=20−5t.

a) Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh là vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm t=0: v(0)=s′(0)=20−5.0=20(m/s)=72(km/h).

Tốc độ giới hạn cho phép là 70 km/h nên xe ô tô trên đã chạy quá tốc độ.

b) Khi xảy ra va chạm, ta có phương trình:

20t−$ \frac{5}{2}t^{2}$=20,4⇔−$ \frac{5}{2}t^{2}$+20t−20,4=0⇔t=1,2(s); t=6,8(s)

Do 0≤t≤4 nên t=1,2(s).

Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm:

v(1,2)=s′(1,2)=20−5.1,2=14(m/s).

Bài 28 trang 74 SBT Toán 11 CD tập 2: Trong kinh tế học, xét mô hình doanh thu y (đồng) được tính theo số sản phẩm sản xuất ra x (chiếc) theo công thức y=f(x).

Xét giá trị ban đầu $x=x_{0}$. Đặt Mf($x_{0}$)=f($x_{0}$+1)−f($x_{0}$) và gọi giá trị đó là giá trị y cận biên của x tại $x=x_{0}$. Giá trị Mf($x_{0}$) phản ánh lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm $x_{0}$.

Xem hàm doanh thu y=f(x) như là hàm biến số thực x.

Khi đó Mf($x_{0}$)=f($x_{0}$+1)−f($x_{0}$) ≈ f′($x_{0}$). Như vậy, đạo hàm f′($x_{0}$) cho chúng ta biết (xấp xỉ) lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm $x_{0}$.

Tính doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm nếu hàm

doanh thu là y=10x−$ \frac{x^{2}}{100}$ tại mốc sản phẩm $x_{0}=10000$.

Lời giải chi tiết

Ta có: y=f(x)=10x−$ \frac{x^{2}}{100}$⇒f′(x)=10−$ \frac{x}{50}$.

Doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm $x_{0}$=10000 là: f′(10000)=10−$ \frac{10000}{50}$=−190(đồng)