BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

Hoạt động 1: 

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x² tại điểm x₀ bất kì bằng định nghĩa.

b) Dự đoán đạo hàm của hàm số y = xⁿ tại điểm x bất kì

Giải nhanh:

a) Xét là số gia của biến số tại điểm

Ta có:

=>

Ta thấy,

Vậy đạo hàm của hàm số tại điểm bất kì là .

b)

Luyện tập 1: Cho hàm số

a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì.

b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ =1

Giải nhanh:

a)

b) Đạo hàm của hàm số tại điểm là:

Hoạt động 2: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa.

Giải nhanh:

Xét là số gia của biến số tại điểm

Ta có:

=>

Ta thấy,

Vậy đạo hàm của hàm số tại điểm là

Luyện tập 2: Tính đạo hàm của hàm số tại

Giải nhanh:

Ta có: .

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm là

Hoạt động 3: Bằng cách sử dụng kết quả = = 1 tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Giải nhanh:

Xét là số gia của biến số tại điểm

Ta có:

=>

Ta thấy,

.

Luyện tập 3: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm

Giải nhanh:

Ta có:

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm là:

Hoạt động 4: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cos x tại điểm x bất kì.

Giải nhanh:

Xét là số gia của biến số tại điểm

Ta có:

=>

Ta thấy,

.

Luyện tập 4: Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2

Giải nhanh:

Ta có:

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm là:

Hoạt động 5: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì,

Giải nhanh:

Xét là số gia của biến số tại điểm ,

Ta có:

=>

Ta thấy,

Luyện tập 5: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm

Giải nhanh:

Ta có: .

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm là: 

.

Hoạt động 6: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k∈ ℤ)

Giải nhanh:

Xét là số gia của biến số tại điểm ,

Ta có:

=>

Ta thấy,

Luyện tập 6: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cotx tại điểm 

Giải nhanh:

Ta có: .

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm là: 

Hoạt động 7: Bằng cách sử dụng kết quả = 1 tính đạo hàm của hàm số y = tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Giải nhanh:

Xét là số gia của biến số tại điểm bất kì.

Ta có:

=>

Ta thấy,

Luyện tập 7: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tại điểm x₀ = –1

Giải nhanh:

Ta có:

Vậy Đạo hàm của hàm số trên tại điểm là:

Hoạt động 8: Bằng sách sử dụng kết quả = 1 tính đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa.

Giải nhanh:

Xét là số gia của biến số tại điểm dương bất kì.

Ta có:

=>

Ta thấy: 

Luyện tập 8: Tính đạo hàm của hàm số f(x)= logx tại điểm .

Giải nhanh:

Ta có:

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm là:

 .

II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

Hoạt động 9: Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên khoảng (a; b) cùng có đạo hàm tại điểm x₀ ∈ (a; b).

a) Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x), x ∈ (a; b). So sánh:

và

b) Nêu nhận xét về h'(x₀) và f'(x₀) + g’(x₀)

Giải nhanh:

a) 

b)

Luyện tập 9: Tính đạo hàm của hàm tại điểm x dương bất kì

Giải nhanh:

Ta có:

Luyện tập 10: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx + cotx tại điểm

Giải nhanh:

Ta có:

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm là:

Hoạt động 10:Cho hàm số y = f(u) = sinu; u = g(x) = .

a) Bằng cách thay đổi u bởi trong biểu thức sinu, hãy biểu thị giá trị của u theo biến số x.

b) Xác định hàm số y = f(g(x))

Giải nhanh:

Cho hàm số .

a)

b)

Luyện tập 11: Hàm số y = log₂(3x + 1) là hàm hợp của hai hàm số nào?

Giải nhanh:

Hàm số là hàm hợp của hai hàm số và

Luyện tập 12: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

1. y =

2. y = log₃(2x - 3)

Giải nhanh:

a) Đặt , ta có: .

Khi đó, và

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

b) Đặt , ta có:

Khi đó, và

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

a) (u + v + w)' = u' + v' + w';

b) (u + v – w)' = u' + v' – w';

c) (uv)' = u'v';

d) với v = v(x) ≠ 0, v' = v'(x) ≠ 0.

Giải nhanh:

Phát biểu a; b đúng

Bài 2: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Chứng minh rằng (u .  v . w)' = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

Giải nhanh:

Đặt: và .

=>

Bài 3: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a)

b)

c)

d)

e)

g)

Giải nhanh:

a) 

b) .

c)

d) .

e) .

g)

Bài 4: Cho hàm số

a) Hàm số f (x) làm hàm hợp của các hàm số nào?

b) Tìm đạo hàm của f (x)

Giải nhanh:

a) Đặt và , ta có: .

Vậy là hàm hợp của hai hàm số .

b) Từ và , ta có và

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

Bài 5: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a)

b)

Giải nhanh:

a)

         .

b)

         .

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 4 tại điểm có hoành độ x₀ = 2;

b) y = lnx tại điểm có hoành độ x₀ = e;

c) y = e^x tại điểm có hoành độ x₀ = 0.

Giải nhanh:

a)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là .

b) .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là hay .

c) Ta có: .

Do đó:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là .

Bài 7: Một viên đạn được bắn từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v₀ = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm mà tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy g = 9,8 m/s²)?

Giải nhanh:

Chọn gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên.

Phương trình chuyển động của viên đạn là:

.

Vận tốc tại thời điểm t là: .

Do đó: thì .

=> .

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng là: 

(m).

Bài 8: Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q₀. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q₀sinωt, trong đó ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t). Cho biết Q₀ = 10^-8 (C) và ω = 10⁶π (rad/s). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) (tính chính xác đến 10^-5 mA)

Giải nhanh:

Ta có: .

Cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) là:

  (A)