BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

I. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

LT-VD 1 trang 23 sgk toán 11 cánh diều

a) Chứng tỏ rằng hàm số g(x)= là hàm số lẻ 

b) Cho ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ

Giải nhanh:

a) Xét hàm số có tập xác định . 

thì , ta có: 

Do đó hàm số là hàm số lẻ.

b) Hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ:

LT-VD 2 trang 23 sgk toán 11 cánh diều

Cho ví dụ về hàm số tuần hoàn.

Giải nhanh

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

có tập xác định trên

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ

=> f(x + T) = f(x) với mọi x

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn

II. HÀM SỐ Y = SINX

LT-VD 3 trang 25 sgk toán 11 cánh diều

Hàm số y = sinx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng

Giải nhanh:

Do nên hàm số nghịch biến trên khoảng

III. HÀM SỐ Y = COSX

LT-VD 4 trang 27 sgk toán 11 cánh diều

Hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng (−2π;−π) 

Giải nhanh:

Hàm số nghịch biến trên khoảng

IV. HÀM SỐ Y = TANX

LT-VD 5 trang 29 sgk toán 11 cánh diều

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng

Giải nhanh:

Từ đồ thị của hai hàm số trên, ta thấy mọi m ∈ ℝ thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm

Như vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng là 1

V. HÀM SỐ Y = COTX

LT-VD 6 trang 30 sgk toán 11 cánh diều

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0,π)

Giải nhanh:

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π) 

Từ đồ thị của hai hàm số trên, ta thấy mọi thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm.

Như vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng (0; π) là 1

BT 1 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [−2π;2π] để:

a) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1

b) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0 

c) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng -1

d) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0

Giải nhanh:

* Đồ thị hàm số y = sinx:

a) nhận giá trị bằng 1 tại .

b) nhận giá trị bằng 0 tại

* Đồ thị hàm số y = cosx:

c) nhận giá trị bằng 1 tại

d) nhận giá trị bằng 0 tại

BT 2 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng (−π; 3π/2) để: 

a) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng -1

b) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0

c) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 1

d) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 0

Giải nhanh:

a) Xét đồ thị hàm số và đồ thị hàm số trên khoảng :

Hàm số nhận giá trị bằng ‒1 tại .

b) Xét đồ thị hàm số trên khoảng :

Hàm số nhận giá trị bằng 0 tại .

c) Xét đồ thị hàm số và đồ thị hàm số trên khoảng

Hàm số nhận giá trị bằng 1 tại

d) Xét đồ thị hàm số trên khoảng :

Hàm số nhận giá trị bằng 0 tại

BT 3 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:

a) y = sinx trên khoảng (−9π/2; −7π/2), (21π/2; 23π/2)

b) y = cosx trên khoảng (−20π; −19π), (−9π; −8π).

Giải nhanh:

a) Xét hàm số :

+ Do nên hàm số đồng biến trên khoảng .

+ Do nên hàm số nghịch biến trên khoảng .

b) Xét hàm số :

+ Do nên hàm số nghịch biến trên khoảng .

+ Do nên hàm số đồng biến trên khoảng

BT 4 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:

a) Với mỗi m ∈ [−1;1], có bao nhiêu giá trị α ∈ [−π/2;π/2] sao cho sinα = m 

b) Với mỗi m ∈ [−1;1], có bao nhiêu giá trị α ∈ [0,π] sao cho cosα = m

c) Với mỗi m ∈ R, có bao nhiêu giá trị α ∈ [−π/2;π/2] sao cho tanα = m

d) Với mỗi m ∈ R, có bao nhiêu giá trị α ∈ [0,π] sao cho cotα = m

Giải nhanh:

a) Xét đồ thị hàm số và đồ thị hàm số trên :

Mỗi thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Như vậy với mỗi sẽ có 1 giá trị sao cho .

b) Xét đồ thị hàm số và đồ thị hàm số trên :

Mỗi thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Như vậy sẽ có 1 giá trị sao cho .

c) Xét đồ thị hàm số và đồ thị hàm số trên :

Mỗi  thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Như vậy với mỗi sẽ có 1 giá trị sao cho .

d) Xét đồ thị hàm số và đồ thị hàm số trên :

Mỗi m ∈ ℝ thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Như vậy với mỗi m ∈ ℝ sẽ có 1 giá trị sao cho

BT 5 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: 

a) y = sinxcosx

b) y = tanx + cotx

c) y = sin² x

Giải nhanh:

a) Xét hàm số có .

+ thì .

+

=> Hàm số là hàm số lẻ.

b) Xét hàm số có

+ thì

+

=>  Hàm số là hàm số lẻ.

c) Xét hàm số có .

+ thì .

+

=> Hàm số là hàm số chẵn.

BT 6 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Một dao động điều hòa có phương trình li độ dao động là: x = Acos(ωt+φ), trong đó t là thời gian tính bằng giây, A là biên độ dao động và x là li độ dao động đều được tính bằng centimét. Khi đó, chu kì T của dao động là T = 2π/ω. 

1. Xác định giá trị của li độ khi t=0, t=T/4, t=T/2, t=3T/4, t=T 

2. Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn [0;2T] trong trường hợp:

A = 3cm, φ = 0

A = 3cm, φ = −π/2

A = 3cm, φ = π/2

Giải nhanh:

=>

Phương trình li độ là

a)

+ thì

+ thì

+ thì

+ thì

+ thì

b) 

• Với cm và :

+ Với .

+ Với

+ Với

+ Với

+ Với

=> Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn

Xét hàm số có chu kỳ T.

Ta vẽ đồ thị hàm số trên đoạn theo bảng sau :

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số trên đoạn song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm 

số 
trên đoạn .

Ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà :

• Với cm và thay vào phương trình li độ ta có : 

+ Với .

+ Với

+ Với

+ Với

+ Với

=> Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0 ; 2T]

Xét hàm số có chu kì là T

Ta vẽ đồ thị hàm số trên theo bảng sau :

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số trên đoạn song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số trên đoạn .

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà :

• Với cm và thay vào phương trình li độ ta có:  

+ Với .

+ Với

+ Với

+ Với

+ Với

=> Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0 ; 2T]

Đồ thị hàm số là hình đối xứng với đồ thị hàm số qua trục hoành :

BT 7 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Trong bài toán mở đầu, hãy chỉ ra một số giá trị của x để ống đựng nước cách mặt nước 2m.

Giải nhanh:

Để ống đựng nước cách mặt nước 2m thì

=> hoặc

+) .

 Mà nên .

+)

Vì tập giá trị của hàm số sin là [-1; 1] nên trong trường hợp này phương trình vô nghiệm.

Như vậy một số giá trị của x để ống nước cách mặt nước 2m là