BÀI 6. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG. HÌNH CHÓP ĐỀU. THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH KHỐI

I. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH LĂNG TRỤ ĐỀU

Hoạt động 1: Cho hình lăng trụ tam giác có các mặt bên là hình chữ nhật ở Hình 80a, 80b. Hãy cho biết mỗi cạnh bên của hình lăng trụ đó có vuông góc với các mặt đáy hay không.

Giải nhanh:

; .

Luyện tập 1: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Tính độ dài đường chéo của hình lập phương đó.

Giải nhanh:

Xét vuông tại B ta có:

Ta có: .

Xét vuông tại A ta có:

II. HÌNH CHÓP ĐỀU. HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

Hoạt động 2: Để tạo mô hình một tháp chuông ở Hình 83a từ một tấm bìa hình vuông, bạn Dũng cắt bỏ phần màu trắng gồm bốn tam giác cân bằng nhau có đáy là các cạnh của tấm bìa (Hình 83b) rồi gấp lại phần màu xanh để tạo thành một hình chóp tứ giác. Quan sát Hình 83a, 83b và cho biết:

a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là tứ giác có tính chất gì;

b) Các cạnh bên của hình chóp đó có bằng nhau hay không.

Giải nhanh:

a) Hình vuông.

b) Các cạnh bên của hình chóp đó bằng nhau.

Luyện tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Chứng minh rằng các cạnh bên tạo với mặt phẳng chứa đáy các góc bằng nhau.

Giải nhanh:

Gọi là chân đường cao của hình chóp đều .

Ta có: .

Xét tam giác vuông và có:

chung; .

(ch – cgv)

Hoạt động 3: Khối bê tông ở Hình 87a gợi nên hình ảnh một hình chóp bị cắt đi bởi mặt phẳng (R) song song với đáy. Hình 87b là hình biểu diễn của khối bê tông ở Hình 87a. Hãy dự đoán về mối quan hệ giữa các đường thẳng chứa cạnh A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄.

Giải nhanh:

; ; và đồng quy tại một điểm.

Luyện tập 3: Cho hình chóp đều S.ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, SC. Chứng minh rằng phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) là hình chóp cụt đều.

Giải nhanh:

Xét có:

lần lượt là trung điểm của .

là đường trung bình 

Mà

Cmtt:

Lại có:

.

Mà là hình chóp đều

Như vậy là hình chóp cụt đều.

III. THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH KHỐI

Hoạt động 4: Hãy nêu lại công thức tính thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác.

Giải nhanh:

Luyện tập 4: ính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB.

Giải nhanh:

Ta có:

Luyện tập 5: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng .

Giải nhanh:

Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy.

Ta có: S.ABC là tứ diện đều nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Mà là tam giác đều

=> H là trọng tâm tam giác.

Lấy M là trung điểm AB, khi đó CM là đường cao của tam giác ABC.

Xét vuông tại H, ta có:

Xét đều, ta có:

Thể tích của tứ diện đều là:

Luyện tập 6: Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.

Giải nhanh:

Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều nên ta có hai đáy là hình vuông.

Diện tích đáy lớn là

Diện tích đáy bé là

Thể tích của thùng đựng rác là:

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở hình 96b có dạng hình gì?

Giải nhanh:

⦁ Chiếc đèn treo ở Hình 96a là hình lăng trụ lục giác đều.

⦁ Trạm khảo sát trắc địa là hình chóp cụt tứ giác đều.

Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a

a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) 

c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 độ

Giải nhanh:

a) Ta có: là hình chóp đều

là hình vuông cạnh .

Xét tam giác có:

vuông tại (Pytago đảo)

Mà .

vuông cân tại .

Cmtt: vuông cân tại .

b) Ta có: O là giao điểm của AC và BD.

là trung điểm của AC và BD.

Vì vuông cân tại nên .

      vuông cân tại nên .

Mà .

.

c) Vì nên hình chiếu của lên là .

.

Mà vuông cân tại nên .

Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B'C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC” và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.

Giải nhanh:

a) Ta có:  

Mà

Lại có:

.

Mà .

b) Ta có: là hình vuông

.

Mà .

.

Ta có: mà .

.

.

Ta có: là hình chiếu của lên mặt phẳng .

.

Xét vuông tại có:

.

Xét vuông tại có:

.

Vậy .

Bài 4. Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh là 15 cm, 15cm và 6cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó 

Giải nhanh:

Bài 5. Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao 10 cm và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 12 cm. Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là 3 g/cm²

Giải nhanh:

.

Bài 6. Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều. Tính theo a thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a 

Giải nhanh:

.

Bài 7. Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Giải nhanh:

Mô hình hóa chân tháp của bài toán bằng khối chóp cụt 2 tứ giác đều , với lần lượt là tâm của hai đáy và .

Gọi H là hình chiếu của C’ lên AC.

.

Mặt khác: (do ).

là hình bình hành .

Ta có: là hình vuông cạnh .

.

Ta có: là hình vuông cạnh .

.

.

Xét vuông tại H, ta có:

.

.

Diện tích hai đáy là: .

Thể tích của khối chóp cụt là: .

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: 

(đồng).