BÀI 5. KHOẢNG CÁCH

II. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Hoạt động 1: Khi lắp thiết bị cho nhà bạn Nam, bác thợ khoan tường tại vị trí M trên tường có độ cao so với nền nhà là MH = 80 cm. Quan sát Hình 61, nền nhà gợi nên mặt phẳng (P), cho biết độ dài đoạn thẳng MH gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến điểm M và mặt phẳng (P).

Giải nhanh:

Độ dài đoạn thẳng gợi nên khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học.

Luyện tập 1: ho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AI ⊥ BC (I ∈ BC), AH ⊥ SI (H ∈ SI). Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH.

Giải nhanh:

Do và => .

Ta có: =>

Mà nên .

Ta có:  

=>

Ta thấy và nên khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .

III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Hoạt động 2: Trong Hình 64, hai mép của con đường gợi nên hình ảnh hai đường thẳng song song Δ và ∆’. Xét điểm A trên đường thẳng Δ.

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ’ có phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ hay không? Vì sao?

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai đường thẳng song song Δ và Δ’?

Giải nhanh:

a) Gọi là điểm thuộc Δ sao cho điểm khác điểm

Kẻ , với

Ta có:                        

và ⇒ . 

và ⇒  

Ta có là hình chữ nhật,

Do đó

Vậy khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trên đường thẳng Δ.

b) Gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song trong hình học.

Luyện tập 2: Người ta dựng các cột đèn vuông góc với mặt đường, trong đó mỗi cột đèn gợi nên hình ảnh một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai chân cột đèn liên tiếp đo được là 5m. Tại sao có thể nói khoảng cách giữa hai cột đèn đó là 5m?

Giải nhanh:

Vì các cột đèn được dựng thẳng đứng và vuông góc với mặt đường nên đường thẳng mà hai cột đèn đó gợi lên là song song với nhau, tức là song song với .

Khi đó, đoạn thẳng nối hai chân cột đèn liên tiếp chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và .

Vậy ta có thể nói khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp đó là .

IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Hoạt động 3: Trong Hình 67, thanh gỗ dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) song song với nhau, chiều cao của chiếc cột có đỉnh cột A là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) có phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ hay không? Vì sao?

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm nào trong hình học liên quan đến đường thẳng Δ và mặt phẳng (P)?

Giải nhanh:

a) Lấy là điểm thuộc đường thẳng Δ sao cho điểm khác điểm .

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm và trên mặt phẳng hay

=> và .

Ta có: là hình chữ nhật.

=> hay .

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trên đường thẳng Δ.

b) Gợi nên khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song trong hình học.

Luyện tập 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, góc giữa SA và mp(ABC) là 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB. Chứng minh MN // (ABC) và tính d(MN, (ABC)).

Giải nhanh:

+ Gọi là hình chiếu vuông góc của trên hay .

+ Xét có: lần lượt là trung điểm của và  

là đường trung bình của .

.

.

Trong kẻ

.

Khi đó,

Có:

+ Xét tam giác vuông tại (do ) có:

.+ Xét có: 

là trung điểm của và  

là đường trung bình của .

.

Vậy

V. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Hoạt động 4: 

a) Trong Hình 70, sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song (P), (Q). Chiều cao của căn phòng là 3 m.

Chiều cao đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai mặt phẳng song song (P), (Q)?

b) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Xét điểm I tuỳ ý trong mặt phẳng (P), lấy K là hình chiếu của I trên (Q) (Hình 71). Khoảng cách IK từ điểm I đến mặt phẳng (Q) có phụ thuộc vào vị trí của điểm I trong mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?

Giải nhanh:

a) Chiều cao của căn phòng đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong hình học.

b) Trên mặt phẳng lấy điểm khác .

Gọi là hình chiếu của trên nên . =>  .

Do là hình chiếu của trên nên . =>  .

Ta có: là hình chữ nhật.

=> hay .

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm trong mặt phẳng

Luyện tập 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’).

Giải nhanh:

+) Ta có: .

.

Gọi là hình chiếu của trên , tức là

=>

+) Ta có: .

Xét tam giác vuông tại (vì ) có:

.

Vậy

IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Hoạt động 5: Trong Hình 73, khuôn cửa phía trên và mép cánh cửa phía dưới gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a và b chéo nhau, hai bản lề của cánh cửa nằm trên đường thẳng c.

Quan sát Hình 73 và cho biết đường thẳng c có vừa cắt, vừa vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không.

Giải nhanh:

Đường thẳng vừa cắt, vừa vuông góc với cả hai đường thẳng và

Luyện tập 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Tính d(SA, BC).

Giải nhanh:

Gọi là trung điểm của .

Xét đều có: là đường trung tuyến

.

Do

.

Xét đều cạnh , có là trung điểm của nên .

Xét tam giác vuông tại (do ) có:

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Hình 76 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Cột gỗ cao 4,2 m. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là bao nhiêu mét?

Giải nhanh:

Khoảng cách giữa và bằng 4,2 m.

Bài 2 – 3. Cho hình tứ diện ABCD có AB = a, BC = b, BD = c, = = = 90^o. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD (Hình 77).

a) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Với giả thiết ở Bài tập 2, hãy:

a) Chứng minh rằng MN // BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC.

b) Chứng minh rằng MP // (BCD). Tính khoảng cách từ đường thẳng MP đến mặt phẳng (BCD).

c) Chứng minh rằng (MNP) // (BCD). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).

Giải nhanh:

a) Xét có:

lần lượt là trung điểm của .

là đường trung bình 

Vì =

b) Xét có:

lần lượt là trung điểm của .

là đường trung bình 

Mà

.

Ta có:

.

c) Ta có: và

.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).

a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.

b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB).

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Giải nhanh:

a)

b) .

c) Kẻ .

Ta có :

Ta có:

.

Xét vuông tại , có đường cao :

Bài 5.  Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:

a) Chứng minh rằng BC // (SAD) và tính khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD).

b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Giải nhanh:

a) Ta có: .

Lại có:

b) Ta có: ;  

.

Gọi . Kẻ .

Ta có: .

Suy ra, .

Xét vuông tại , kẻ chiều cao .

Ta có: là trung điểm .

Vậy .