BÀI 3. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT

I. HÀM SỐ MŨ

Bài 1: Xét bài toán ở phần mở đầu.

a) Tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau 1 năm, 2 năm, 3 năm

b) Dự đoán công thức tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau n năm

Giải nhanh:

a) Số tiền doanh nghiệp đó có được:

+ 1 năm: (đồng)

+ 2 năm: (đồng)

+ 3 năm: (đồng)

b)

Bài 2: Cho hai ví dụ về hàm số mũ 

Giải nhanh:

;

Bài 3: Cho hàm số mũ .

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

	?	?	?		?

b) Trong mặt phẳng  tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2^x) với x ∈ R và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = 2^x (Hình 1).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = 2x, nêu nhận xét về:

2^x,2^x

• Sự biến thiên của hàm số y = 2^x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Giải nhanh:

a) 

b) 

c) Tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung là . Đồ thị không cắt trục hoành.

d) 2^x ; 2^x

• Hàm số đồng biến trên

Bài 4: Cho hàm số mũ .

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

	?		?

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; ) với x ∈ R và nối lại, ta được đồ thị hàm số  y = (Hình 2).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = , nêu nhận xét về:

• ,

• Sự biến thiên của hàm số y = và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Giải nhanh:

a) 

b) 

c) Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

d) ; 

Hàm số nghịch biến trên .

Bài 5: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Giải nhanh:

- Hàm số là hàm số nghịch biến trên .

- Hàm số có cơ số nên ta có:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm

II. Hàm số lôgarit

Bài 1: Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau: 

Giải nhanh:

		2	4	8

Bài 2: Cho hai ví dụ về hàm số lôgarit 

Giải nhanh:

;

Bài 3: Cho hàm số lôgarit y = logx

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; log₂x) với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = log₂x (Hình 6).

c) Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = log₂x với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục tung.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = log₂x, nêu nhận xét về:

• log₂x, log₂x

• Sự biến thiên của hàm số y = log₂x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Giải nhanh:

a) 

b)

c) Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

Đồ thị hàm số đó không cắt trục tung.

d) log₂x = 0, log₂x;

Hàm số đồng biến trên .

Bài 4: Cho hàm số logarit y = logx

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x;  logx) với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số

Giải nhanh:

a) 

b) 

c) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

+ Đồ thị hàm số không cắt trục tung.

d) log_1/2x ; log_1/2x

Hàm số nghịch biến trên .

Bài 5: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = logx

Giải nhanh:

Hàm số có cơ số nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số là một đường cong liền nét đi qua các điểm 

III. Bài tập

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

a)

b)

c)

Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao?

a)

b)

c)

d)

Giải nhanh:

a) Hàm số nghịch biến trên . Vì

b) Hàm số nghịch biến trên . Vì

c) Hàm số đồng biến trên . Vì

d) Hàm số nghịch biến trên . Vì

Bài 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Giải nhanh:

a)

Đồ thị hàm số là đường cong đi qua , , , ,

b) 

Đồ thị hàm số là đường cong đi qua , , , ,

Bài 4: Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ t là hàm số theo biến t được cho bởi công thức: S = A., trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98 564 407 người và tỉ lệ tăng dân số 0,93%/năm (Nguồn: https://danso.org/viet–nam. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm là như nhau tính từ năm 2021, nêu dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải nhanh:

năm.

người.

Bài 5: Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: f(t) = c(1 – ), trong đó c là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, k (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, t (ngày) là thời gian học và f(t) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là k = 0,2. Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải nhanh:

(đơn vị kiến thức)

(đơn vị kiến thức)

Bài 6: Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H⁺]. Phân tích nồng độ ion hydrogen [H⁺] trong hai mẫu nước sông, ta có kết quả sau:

Mẫu 1: [H⁺] = 8 . 10–7; Mẫu 2: [H⁺] = 2 . 10–9.

Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên.

Giải nhanh:

Độ của mẫu 1 là:

Độ của mẫu 2 là:

=>

Bài 7: Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kỳ hạn là 12 tháng với lãi suất 6%/ năm Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau y (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là x (đồng), sử dụng công thức y = log_1,06(). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì có thể rút ra số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải nhanh:

Để tổng số tiền cả vốn và lãi là 15 triệu đồng thì cần gửi số năm là :

(năm)

Để tổng số tiền cả vốn và lãi là 20 triệu đồng thì cần gửi số năm là :

(năm)