BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1: Hai vách ngăn tủ trong Hình 45 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Các góc nhị diện đó có phải là góc nhị diện vuông hay không?

Giải nhanh: 

Các góc nhị diện đó có phải là góc nhị diện vuông 

Luyện tập 1: Nêu ví dụ trong thực tế minh họa hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc.

Giải nhanh: 

Mặt tường vuông góc với sàn nhà, mặt ngang vuông góc với mặt đứng của bậc thang, ...

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 2: Nền nhà, cánh cửa và mép cánh cửa ở Hình 48 gợi nên hình ảnh mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) và đường thẳng a nằm trên mặt phẳng (P). Quan sát Hình 48 và cho biết:

a) Vị trí tương đối của đường thẳng a và mặt phẳng (Q);

b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vuông góc với nhau không.

Giải nhanh: 

a) Vuông góc 

b) Vuông góc

Luyện tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD).

Giải nhanh: 

Ta có: và nên .

Vì là hình thoi nên BD.

Ta có: BD

=>

Mà nên (S.

III. TÍNH CHẤT

Hoạt động 3: Cho hình chóp S.OAB thỏa mãn (AOS) ⊥ (AOB), = 90^o   (Hình 51).

Giải nhanh: 

a) Ta có:

=>

b) Ta có: nên

Vậy SO vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB).

c) Ta có: A. Mà:

Vậy là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện .

Vì nên

Ta có:

=>

Luyện tập 3: Cho tứ diện ABCD có (ABD) ⊥ (BCD) và CD ⊥ BD. Chứng minh rằng tam giác ACD vuông.

Giải nhanh: 

Ta có:

Mà

.

Như vậy vuông tại

Hoạt động 4: Trong Hình 54, hai bìa của cuốn sách gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn. Hãy dự đoán xem gáy sách có vuông góc với mặt bàn hay không.

Giải nhanh: 

Gáy sách vuông góc với với mặt bàn.

Luyện tập 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ SB, SB ⊥ SC, SC ⊥ SA. Chứng minh rằng:

a) (SAB) ⊥ (SBC);

b) (SBC) ⊥ (SCA);

c) (SCA) ⊥ (SAB).

Giải nhanh: 

a) Ta có: .

=> .

Mà

Nên .

b) Ta có: 

=> .

c) Ta có: .

=> .

Mà

Nên

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Quan sát ba mặt phẳng (P), (Q), (R) ở Hình 57, chỉ ra hai cặp mặt phẳng mà mỗi cặp gồm hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy sử dụng kí hiệu để viết những kết quả đó.

Giải nhanh: 

Bài 2. Chứng minh: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Giải nhanh: 

Cho hai

Gọi và vuông góc với .

Lấy . Trong mặt phẳng qua kẻ đường thẳng vuông góc với .

Ta có:

 là góc phẳng nhị diện  

Mặt khác nên góc nhị diện vuông hay

=>

Mà

=> a ⊥ (Q)

Bài 3. Chứng minh các định lí sau:

a) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó;

b) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Giải nhanh: 

a) Giả sử ta có: gọi

Mà và là hai mặt phẳng phân biệt nên và không trùng nhau.

Hơn nữa: và cùng nằm trong nên xảy ra hai trường hợp:

⦁ Nếu , mà =>

⦁ Nếu cắt , gọi . Mà và nên . Khi đó sẽ tồn tại .

Do và =>

b) 

Giả sử có ba mặt phẳng thỏa mãn và  

Gọi lấy sao cho .

Ta có: và suy ra

Mà nên

=>

Bài 4. Cho một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đó và vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Giải nhanh: 

Cho đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng . Ta cần chứng minh: tồn tại duy nhất mặt phẳng vuông góc với và chứa .

Chứng minh tính tồn tại mặt phẳng

- Xét trường hợp cắt tại .

Lấy sao cho . Vẽ đường thẳng đi qua sao cho

Suy ra .

Khi đó hai đường thẳng và xác định mặt phẳng hay mặt phẳng chứa hai đường thẳng và .

Vì nên ta có

- Xét trường hợp hoặc

Lấy . Vẽ đường thẳng đi qua sao cho

=> .

Khi đó hai đường thẳng và xác định mặt phẳng hay mặt phẳng chứa hai đường thẳng và .

Vì nên ta có

Chứng minh tính duy nhất mặt phẳng :

Giả sử tồn tại mặt phẳng khác sao cho và .

Ta thấy: .

Mà => . 

Mâu thuẫn với giả thiết không vuông góc với .

Như vậy, tồn tại duy nhất mặt phẳng sao cho và

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, tam giác SAB vuông cân tại S. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:

a) SM ⊥ (ABCD);

b) AD ⊥ (SAB);

c) (SAD) ⊥ (SBC).

Giải nhanh: 

a) Xét tam giác vuông cân tại có:

là đường trung tuyến nên .

Do

=>

Ta có:

.

Từ đó, ta có

b) Do và nên .

Vì là hình chữ nhật nên

Ta có: và trong .

=>

c) Do và nên

Vì tam giác vuông cân tại nên

Ta có và trong .

=> .

Hơn nữa nên

Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh cùng bằng a, hai mặt phẳng (A’AB) và (A’AC) cùng vuông góc với (ABC).

a) Chứng minh rằng AA’ ⊥ (ABC).

b) Tính số đo góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC).

Giải nhanh: 

a) Do và .

=>

Ta có:

=> .

b) Do nên là hình chiếu của trên.

=> Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

Vì và nên .

Xét tam giác vuông tại có:

.

Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .