BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

BT 1 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1/3 và u_n = 3u_n−1 với mọi n ≥ 2. Số hạng thứ năm của dãy số (_un) là:

A. 27

B. 9

C. 81

D. 243

Giải nhanh:

A. 27

BT 2 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. 21,−3,−27,−51,−75

B. ; ; 2; ;

C. ; ; ;;

D. ; ; ; ;

Giải nhanh:

A. 21,−3,−27,−51,−75

BT 3 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ =  −5, công sai d = 4. Công thức của số hạng tổng quát u_n là:

A. u_n = −5 + 4n

B. u_n = − 1 − 4n

C. u_n = −5 + 4n²

D. u_n = −9 + 4n

Giải nhanh:

D. u_n = −9 + 4n

BT 4 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:

A. 10 000

B. 10 100

C. 20 000

D. 20 200

Giải nhanh:

A. 10 000

BT 5 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số (u_n) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1 và u_n = u_n−1(n−1) với mọi n ≥ 2

B. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1 và u_n = 2u_n−1+1 với mọi n ≥ 2

C. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1 và u_n = u²_n−1 với mọi n ≥ 2

D. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 3 và u_n = 1/3u_n−1 với mọi n  ≥2

Giải nhanh:

D. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 3 và u_n = 1/3u_n−1 với mọi n  ≥2

BT 6 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = −1, công bội q = −1/10. Khi đó 1/10²⁰¹⁷ là số hạng thứ: 

A. 2016

B. 2017

C. 2018

D. 2019

Giải nhanh:

C. 2018

BT 7 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. = sinn

B. = n.(– 1)ⁿ

C. = 1/n

D. =

Giải nhanh:

D. un = 2ⁿ⁺¹

BT 8 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (u_n) sau, biết số hạng tổng quát:

a)  

b)  

c) = (– 1)ⁿ. n²

Giải nhanh:

a) =>

+ Xét hiệu: (vì ).

=> => là dãy số tăng.

+ Ta có:  

mà ().

=> Dãy số bị chặn.

b) =>

 + Xét hiệu

=>  

=> là dãy số giảm

+ Ta có: . Vì (), mà ()

=>  

=> Dãy số bị chặn

c) Dãy số là dãy số không tăng không giảm và không bị chặn.

BT 9 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (u_n). Tìm số hạng đầu u₁, công sai d trong mỗi trường hợp sau:

a) u₂ + u₅ = 42 và u₄ + u₉ = 66

b) u₂ + u₄ = 22 và u₁.u₅ = 21

Giải nhanh:

a)  

Ta lại có:

Khi đó ta có:

Vậy và
b) Ta có:  

Lại có:

Thay vào biểu thức trên ta có:

hoặc

Với thì

Với thì

BT 10 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (un).Tìm số hạng đầu u₁, công bội q trong mỗi trường hợp sau: 

a) u₆ = 192 và u₇ = 384

b) u₁ + u₂ + u₃ = 7 và u₅ − u₂ = 14

Giải nhanh:

a) Ta có: và

Xét : => q = 2

Suy ra:

Vậy cấp số nhân có và

b) Ta có:

Và

Suy ra: và  

Với thì

Với thì

BT 11 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.

Giải nhanh:

Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

B = A + d; C = A + 2d; D = A + 3d.

Mặt khác: A + B + C + D = 360°

⇔ A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360°

⇔ 2A + 3d = 180° (1)

Ta lại có: A + 2d = 5A ⇔ d = 2A (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A = 22,5° và d = 45°

⇒ B = 67,5°, C = 112,5°, D = 157,5°

BT 12 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây, ... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Giải nhanh:

Giả sử người ta đã trồng được n hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với: ,

(TM) hoặc (KTM)

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên

BT 13 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là 12288 m². Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Giải nhanh:

Diện tích mặt đáy tháp là

Diện tích mặt sàn tầng 2 là :

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là với .

BT 14 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Một khay nước có nhiệt độ 23^∘C được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Giải nhanh:

Gọi u_n là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có :

Dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân với và có số hạng tổng quát: độ C.

Như vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là

BT 15 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₂ (Hình 4). Từ hình vuông C₂ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông C₃. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông C₁,C₂,C₃,...,C_n,... Gọi a_n là độ dài cạnh hình vuông C_n. Chứng minh rằng dãy số (a_n) là cấp số nhân. 

Giải nhanh:

Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là:

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là:

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n + 1 là:

=>

Vậy (a_n) là một cấp số nhân với và

BT 16 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Giải nhanh:

Gọi u_n là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1%.

Ta có:

đồng

(đồng)

…

+) Ta thấy dãy lập thành một cấp số nhân với và có tổng số hạng đầu là:

=> .

Vì sau thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và . Do đó ta có :

. 

Vậy mỗi tháng ông An phải trả đồng