BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN

I. ĐỊNH NGHĨA

LT-VD 1 trang 53 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = −6, u₂ = −2. 

a) Tìm công bội q

b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó

Giải nhanh:

a)  

b)  

.

LT-VD 2 trang 54 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (un) với u_n = 3.2ⁿ ( n≥1 ). Dãy (u_n) có là cấp số nhân không? Vì sao?

Giải nhanh:

Ta có:

=> với

Vì vậy dãy là cấp số nhân có và

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

LT-VD 3 trang 55 sgk toán 11 cánh diều

Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc và lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm)

Giải nhanh:

Số tiền ban đầu T₁ = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

(Triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

(Triệu đồng)

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

(Triệu đồng)

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu và có số hạng tổng quát là:

(Triệu đồng)

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

LT-VD 4 trang 55 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3,−6,12,−24,... với n = 12

b) 1/10, 1/100, 1/1000 với n = 5

Giải nhanh:

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với và

b) Ta có: là một cấp số nhân với và

BT 1 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) 5; −0,5; 0,05; −0,005; 0,0005

b) −9, 3, −1, 1/3, −1/9

c) 2, 8, 32, 64, 256

Giải nhanh:

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp lần số hạng trước của dãy. Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với và

b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp số hạng trước của dãy. Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với và

c) Ta có: . Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân

BT 2 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh mỗi dãy số (u_n) với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a)

b)

c)

Giải nhanh:

a)

Xét:

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

b)

Xét:

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

c)

Xét:

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

BT 3 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u_n = −5, công bội q = 2. 

a) Tìm u₉. 

b) Số −320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Giải nhanh:

a) Ta có là cấp số nhân có và có số hạng tổng quát là: với mọi

b) Xét:

Như vậy số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

c) Xét:

Ta thấy

Như vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân

BT 4 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, u₃ = 27/4

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên

Giải nhanh:

a) Ta có:

Xét:

+ Với ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

;

+ Với ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với và  là:

 Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với và là: 

BT 5 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi u_n là dân số của tỉnh đó sau n năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020

Giải nhanh:

a) (triệu dân)

b) (triệu dân)

BT 6 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó). 

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng. 

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng. 

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Giải nhanh:

a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

(triệu đồng)

Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

(triệu đồng)

b) Gọi là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là:

triệu đồng và

Khi đó công thức tổng quát để tính:

c) (triệu đồng)

BT 7 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống. 

Giải nhanh:

Gọi là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần 1, ta có

Gọi là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần 1, ta có

+) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần 2, ta có:

Gọi là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần 2, ta có:

+) Vậy ta có hai cấp số nhân đều có công bội 0,75 là: và ; với