BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

PHẦN I. HỆ THỐNG BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi:
A. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.
D . Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.

Bài 2: Cho hai đường thẳng phân biệt  và  trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa  và  ?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .

Bài 3: Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi:
A. Đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
B. Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.
C. Đường thẳng đó không có điểm chung với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
D. Đường thẳng đó không có điểm chung với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.

Bài 4: Trong không gian, hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi:
A. Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng còn lại.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng.
C. Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba.
D. Hai mặt phẳng không có điểm chung.

Bài 5: Cho tứ diện . Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh . Điểm  thuộc cạnh  sao cho .
a) Xác định giao điểm  của đường thẳng  với mặt phẳng .
b) Xác định giao điểm  của đường thẳng  với mặt phẳng .
c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  với mặt phẳng .
d) Gọi  là giao diểm của  và  là trọng tâm của tam giác . Chứng minh rằng  thẳng hàng.

Bài 6: Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành. Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh . Xác định giao tuyến của mặt phẳng  với mỗi mặt phẳng sau:
a) ;
b) .

Bài 7: Cho hình chóp  có đáy  là hình thang  và . Gọi  lần lượt là trung điểm các cạnh .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng .
c) Lấy điểm I thuộc cạnh  sao cho . Chừng minh rằng  // (AIC).

Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác . Lấy  lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng ; lấy các điểm  lần lượt thuộc các đoạn  sao cho .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng .
c) Chứng minh rằng .
d) Gọi  là mặt phẳng đi qua  và song song với mặt phẳng . Mặt phẳng  cắt cạnh  tại điểm . Tính .

Bài 9: Cho hình hộp . Gọi  lần lượt là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi  lần lượt là giao điểm của đường thẳng  với các mặt phẳng (  ),  ). Chứng minh rằng .

Bài 10: Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với . Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình 91). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gố theo mặt phẳng  đi qua  và song song với mặt phẳng .
a) Hãy giúp bác thợ mộc xác định giao tuyến cùa mặt phẳng  với các mặt của khối gố để cắt được chính xác.
b) Gọi  lần lượt là giao điểm  với mặt phẳng . Biết , . Tính .

PHẦN II. 5 PHÚT GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:

Đáp án A

Bài 2:

Đáp án D

Bài 3:

Đáp án B

Bài 4:

Đáp án A

Bài 5:

a) Trong mp (ABC), kéo dài MP cắt BC tại E. 

Ta có: )

Do đó

b) Nối NE, NE cắt CD tại Q.

Ta có:

Do đó

c) Ta có: P là giao điểm của (ACD) và (MNP) và Q là giao điểm của (ACD) và (MNP).

Do đó PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

d) 

+) Ta có: GC là giao tuyến của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).

+) Mặt khác,

Do đó giao tuyến GC của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC) đi qua điểm I.

Vậy ba điểm C, I, G thẳng hàng.

Bài 6:

a) Trong mp (ABCD), kéo dài AM cắt DC tại E. 

Ta có

Lại có:

Vậy

b) Trong mp (SCD), gọi F là giao điểm của SC và NE.

Ta có:

Lại có:

Vậy

Bài 7:

a) Trong mp (SAB), xét có:

Mà giả thiết) nên

Lại có  nên

b) +) Theo câu a,

Mà  

Do đó .

+) Xét tứ giác MNCD có: DM // CN

Mà  nên

c) Trong mp (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có:

Trong mp (SDB), xét  có  nên  (theo định lí Thalès đảo)

Mà

Bài 8:

a) Trong mp (BCC’B’) có BC // B’C’ và BC = B’C’.

Lại có

Tứ giác BMC’M’ là hình bình hành

Do đó

b) Trong mp (A’BM’),  G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)

Mà

c) +) C’C // M’M và C’C = M’M

Mà A’A=C’C, A’A//C’C;

Xét tứ giác AMM’A’ A’M’ // AM và A’M’ = AM.

+)  Ta có:

+) Xét tứ giác GMM’G’ có: 

G’G // M’M => G’G // (BCC’B’).

+) Ta có: G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)

Do đó

d) Trong mp (ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.

Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.

Ta có:

=>

+) CC’ cắt  tại I.

 (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta suy ra:

Theo bài,

Vậy

Bài 9:

a)

+) Ta có: A’D // (B’CM).

+) Tương tự: DN // (B’CM).

+) Ta có:

A’D, DN cắt nhau tại điểm D và cùng nằm trong mp(A’DN)

Do đó

b)

+) Trong mp (A’B’C’D’), gọi J là giao điểm của A’N và B’D’.

Trong mp (BDD’B’), D’B cắt DJ tại E.

Trong mp (ABCD), gọi I là giao điểm của CM và BD.

Trong mp (BDD’B’), D’B cắt B’I tại F.

Ta có: E là giao điểm của D’B và (A’DN).

F là giao điểm của D’B và (B’CM).

+) Ta có: 

+) Ta có

+) Trong mp (ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Ta có:

Chứng minh tương tự:

Suy ra

Do đó

Bài 10:

a) 

b) Chiều dài