Đáp án:  

1.A                        2.D                        3.B                         4.A

BT 5 trang 120 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD. Điểm P thuộc cạnh AC sao cho PA = 2.PC. 

a) Xác định giao điểm E của đường thẳng MP với mặt phẳng (BCD). 

b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP). 

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với mặt phẳng (MNP). 

d) Gọi I là giao điểm của MQ và NP, G là trọng tâm của tam giác ABD. Chứng minh rằng C, I, G thẳng hàng.

Đáp án:

a) $MP \cap  BC = E$. 

    $BC \subset  (BCD) $=> $MP \cap  (BCD) = E  $

b) $NE \cap  CD = Q $

    $NE \subset  (MNP) $=> $CD \cap  ( MNP) = Q$

c) +) $Q \in  ( NMP) ; Q \in ( ADC)$ => $( NMP) \cap  ( ADC ) ={Q} $

    +) $P \in ( NMP) ; P \in ( ADC) $=>$ ( NMP) \cap  ( ADC ) = {P}$

• $( NMP) \cap  ( ADC ) = QP$

d) +)  $C  \in ( MCD) ; G \in  ( MCD) ; C \in ( ACN ) ; G \in ( ACN)$

      => $( MCD) \cap  ( ACN) = CG$

   +) $ I \in MQ ; I \in PN => I \in ( MCD) ; I \in  ( ACN)$

• CG đi qua điểm I  => 3 điểm C, I, G thẳng hàng(đpcm)

BT 6 trang 120 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với mỗi mặt phẳng sau: 

a) (SCD)

b) (SBC)

Đáp án:

a) $AM \cap  CD = E$

+) $N \in ( ANM) ; N  (SCD) ; E \in ( ANM) ; E \in ( SCD)$

• $(SCD) \cap  (ANM) = EN$

b) $ NE \cap  SC = F $

+) $M \in ( AMN) ; F \in (AMN) ; M \in ( SBC) ; F \in ( SBC)$

• $( AMN ) \cap  ( SBC) = FM$

BT 7 trang 121 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD) và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng:

a) MN // (SCD)

b) DM // (SBC)

c) Lấy điểm I thuộc cạnh SD sao cho SI/SD = 2/3. Chứng minh rằng: SB // (AIC).

Đáp án:

a) +) $\triangle SAB$ có MN là đường trung bình => MN // AB 

     => MN // CD mà$ CD \subset ( SCD)$ => MN // (SCD)

b) +) $MN = CD ( = \frac{1}{2}AB)$

    +) MN = CD , MN // CD => MNCD là hình bình hành

1. MD // NC mà $NC \subset  ( SBC) $=> MD // ( SBC)

c) +) $BD \cap  AC = O$

    +) AB // CD => $\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}=\frac{2}{1}$ => $\frac{OB}{DB}=\frac{2}{3}$  

+) $\triangle SBD$ có $\frac{SI}{SD}=\frac{OB}{DB}=\frac{2}{3}$=> OI // SB mà $OI \subset  ( ACI)$ => SB // ( ACI)

BT 8 trang 121 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Lấy M, M' lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B'C'; lấy các điểm G, G', K lần lượt thuộc các đoạn AM, A'M', A'B sao cho…

a) Chứng minh rằng C'M // (A'BM'). 

b) Chứng minh rằng G'K // (BCC'B').

c) Chứng minh rằng (GG'K) // (BCC'B'). 

d) Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt cạnh CC' tại điểm I. Tính IC/IC’

Đáp án:

a) +) $MB = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} B’C’ = C’M’$

    +) C’M’ // MB , C’M’ = MB => C’M’BM là hình bình hành.

• MC’ // BM’, mà $BM’ \subset  (A’M’B)$ => MC’ // ( A’M’B)

b) +) $\triangle A’M’B $ có $\frac{A'K}{A'B}=\frac{A'G'}{A'M'}=\frac{2}{3}$=> BM’ // KG’

       mà $BM’ \subset  ( C’B’BC) $=> KG’ // ( C’B’BC)

c) +) C’M’MC là hình bình hành => CC’ = MM’ ; CC’ // MM’

        Mà CC’ = AA’ , CC’ // AA’ => MM’ = AA’ ; MM’ // AA’ 

          => A’M’MA là hình bình hành => A’M’ = AM ; A’M’ // AM

+)  $\frac{A'G'}{A'M'}=\frac{AG}{AM}$=> A’G’ = AG => G’M’ = GM 

+) GM // G’M’ ; GM = G’M’ => G’M’MG là hình bình hành 

    => GG’ // MM’ , mà MM’ \subset  (C’B’BC) => GG’ // ( C’B’BC) 

+) $KG’ \cap  GG’ = G’ ; KG’, GG’ \subset  ( KGG’) ; KG’, GG’ // ( C’B’BC)$

   => ( KGG’) // ( C’B’BC)

d) +) vẽ đường thẳng qua K và // AB; cắt AA’, BB’ tại J và H

     +) vẽ đường thẳng qua J và // AC ; cắt CC’ tại I

+) AB // JK , $AB \subset  (ABC)$ => JK // (ABC)

+) AC // JI , $AC \subset  (ABC) $=> JI // (ABC)

     Mà $JK  \cap  JI = J ; JK , JI \subset  ( JKI) $=> ( ABC ) // ( JKI)

+)  $(\alpha)$ // (ABC) và đi qua K => $(\alpha) \equiv  (JKI)$ => $CC’ \cap  (\alpha) = { I}$

+) (ABC) // (JKI) ; ( A’B’C’) // ( ABC) => ( A’B’C’) // ( ABC) // (JKI)

·      $\frac{IC}{KB}=\frac{C'I}{A'K}$ =>$ \frac{IC}{C'I}=\frac{KB}{A'K } $ mà $\frac{A'K}{A'B}=\frac{2}{3}$ =>$\frac{KB}{A'K}= \frac{1}{2} = \frac{IC}{C'I}$

BT 9 trang 121 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C'D'. 

a) Chứng minh rằng (A'DN) // (B'CM). 

b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D'B với các mặt phẳng (A'DN), (B'CM). Chứng minh rằng $D'E = BF =\frac{1}{2}EF$

Đáp án:

a) +) $( DCB’A’) \cap  ( CBC’B’) = BC$ ; $( ADD’A’) \cap  ( DCB’A’) = AD$

         ( CBC’B’) // ( CBC’B’) 

• B’C // A’D, mà  $B’C \subset  ( B’CM) $=> A’D // ( B’CM)

   +) chứng minh tương tự:  MB’ // DN, mà MB’ \subset  (B’CM) nên DN // (B’CM).

   +) $A’D \cap  DN = D; A’D, DN \subset  (A’DN)$  => ( B’CM) // ( A’DN)

b) +) $A’N \cap  B’D’ = J ; BD’ \cap  DJ = E ; BD \cap  MC = I ; B’I \cap  BD’ = F$

     +) $B’I \cap  BD’ = F ; B’I \subset  ( B’CM) => BD’ \cap  (B’CM) = {F}$

     +) $BD’ \cap  DJ = E  ; DJ \subset  ( A’DN) =>  BD’ \cap  ( A’DN) = {E}$

     +) $( A’DN) \cap  ( D’B’BD) = DJ ; ( B’CM) \cap  ( D’B’BD) = B’I$

         (A’DN) // ( D’B’BD) => DJ // B’I

    +)  IF // DE => $\frac{BF}{BE}=\frac{BI}{BD}$ (1)

    +) $AC \cap  BD = O $

    +) $\triangle ABC$ có $MC \cap  OB = I $=> I là trọng tâm 

       =>  $\frac{BI}{BO}=\frac{2}{3} $ mà BD =2.BO =>$\frac{BI}{BD}=\frac{1}{3}$ (2)

     Từ (1) và (2) => $\frac{BE}{BF}=\frac{1}{3}$ => $\frac{BE}{EF}=\frac{1}{2}$

    +) Chứng minh tương tự :$ \frac{D’E}{D’F}=\frac{DJ}{D’B’}=\frac{1}{3}$=> $\frac{D’E}{EF}=\frac{1}{2}$

• $\frac{BE}{EF}=\frac{D’E}{EF}=\frac{1}{2}$

=> $BF=D'E=\frac{1}{2}EF.$

BT 10 trang 121 sgk toán 11 cánh diều

Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD) // (EFMH), CK // DH. Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình 91). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (R) đi qua K và song song với mặt phẳng (ABCD).

a) Hãy giúp bác thợ mộc xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt của khối gỗ để cắt được chính xác. 

b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm DH, BF với mặt phẳng (R). Biết BF = 60 cm, DH = 75 cm, CK = 40 cm. Tính FJ.

Đáp án:

a) +) Qua K vẽ đường thẳng // BC, DC;  cắt BF, HD tại P, N

   +)  $BC // PK ,  BC \subset  (ABCD) => PK // (ABCD).$

        $CD // NK , CD \subset  (ABCD) => NK // (ABCD)$.

        $PK \cap  NK = K ; \subset  ( NPK) $

• ( ABCD) // (NPK) => $(R) \equiv  (NPK)$

   +) Qua N vẽ đường thẳng // với AD, cắt AE tại Q.

Vậy $( PKNQ) \cap  ( FKCB) =PK ; ( PKNQ) \cap  ( EHDA) = QN$ ;

        $(PKNQ) \cap  ( EFBA) = QP ; ( PKNQ) \cap  (HKCD) = KN$

b) +) $NK \cap  HD = N , KN \subset  (R) => DH \cap  ( R ) ={N}$

    +) $DH \cap  ( R ) ={I} => N \equiv  I$

    +) Tương tự $P \equiv  J$

    +) (ABCD) // (EFMH) // (R) => $\frac{FB}{HD}=\frac{FJ}{HI}$   

+)  CD // KI ; ID // CK => IKCD là hình bình hành

• ID = CK = 40 cm 
• IH = 75 – 40 = 35 cm 
• $\frac{60}{75}=\frac{FJ}{35}$=> FJ = 28 cm