I. KHÁI NIỆM

LT-VD 1 trang 44 sgk toán 11 cánh diều

Hàm số $u(n) = n^{3}$ xác định trên tập hợp M = {1;2;3;4;5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển

Đáp án:

u₁=1; u₅=125.

Dạng khai triển của dãy số : 1; 8; 27; 64; 125

LT-VD 2 trang 44 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (u_n)=$n^{2}$

a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số (u_n)

b) Viết dạng khai triển của dãy số (u_n)

Đáp án:

a)  u₁ = 1 ; u₂ = 4 ;  u₃ = 9 ;  u₄ = 16 ; u₅ = 25

    Số hạng tổng quát là u_n =$ n^{2}$với n∈N.

b) Dãy số dưới dạng khai triển : 1; 4; 9; 16; 25;...$ n^{2}$ ; ...

II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

LT-VD 3 trang 46 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (u_n) với ... Tìm u₃₃, u₃₃₃ và viết dãy số dưới dạng khai triển

Đáp án:

$u_{33}=\frac{33-3}{33.3+1}=0,3$;    $u_{333}=\frac{333-3}{333.3+1}=0,33$ 

Dạng khai triển của dãy số : $-\frac{1}{2}; -\frac{1}{7}; 0; \frac{1}{13};...;u_{n}=\frac{n-3}{3.n+1}$

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

LT-VD 4 trang 46 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng dãy số (v_n) với v_n=$\frac{1}{3^{n}}$ là một dãy số giảm

Đáp án:

u_n+1-u_n=$\frac{1}{3^{n+1}}-\frac{1}{3^{n}}=-\frac{2}{3}.\frac{1}{3^{n}}<0 $=> u_n+1<u_n => dãy số giảm.

IV. DÃY SỐ BỊ CHẶN

LT-VD 5 trang 47 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng dãy số (u_n) với... là bị chặn

Đáp án:

       $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+4}>0$

       $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+4}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n^{2}+2})<\frac{1}{2}$

• 0<u_n<$\frac{1}{2}$ => dãy số bị chặn

BÀI TẬP CUỐI SGK

BT 1 trang 47 sgk toán 11 cánh diều

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức

Đáp án:

a) 3; 9; 19; 33; 51

b) $-1; \frac{1}{3}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{7}; -\frac{1}{9}$

c) $2; 2; \frac{8}{3}; 4; \frac{32}{5}$

d) $2; \frac{9}{4}; \frac{64}{27}; \frac{ 625}{256}; \frac{7776}{3125}$

BT 2 trang 47 sgk toán 11 cánh diều

a) Gọi un là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (u_n). 

b) Gọi v_n là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (v_n).

Đáp án:

a) u_n= n

b) v_n=$n^{3}$

BT 3 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết…

Đáp án:

a) $u_{n+1}-{u_{n}}=\frac{n-2}{n+3}-\frac{n-3}{n+2}=\frac{5}{(n+3)(n+2)}>0$, ∀x∈N* => dãy số tăng

b) $u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{3}{2(n+1)} u_{n}\leq\frac{3}{4}u_{n} $

=> u_n+1<u_n => dãy số giảm

c) 

+) n chẵn => $u_{n}=2^{n}+1$; $u_{n+1}=-(2.2^{n}+1)$ => u_n+1<u_n => dãy số giảm

+) n lẻ => $u_{n}=-(2^{n}+1)$;   $u_{n+1}=(2.2^{n}+1)$=> u_n+1>u_n => dãy số tăng

BT 4 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn...

Đáp án:

a) $n^{2}+2≥3$ => dãy số bị chặn dưới

b) u_n=-2n+1≤-1 => dãy số  bị chặn trên

c) $u_{n}=\frac{1}{n^{2}+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

 +) n∈N* => $\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}$=>u_n>0

 +) 1n≤1 ; $-frac{1}{n+1}<-\frac{1}{2}$ =>$u_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\leq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

• $0\leq u_{n}\leq\frac{1}{2}$ => dãy số bị chặn

BT 5 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số thực dương (u_n). Chứng minh rằng dãy số (un) là dãy số tăng khi và chỉ khi…

Đáp án:

+) u_n là dãy số tăng => u_n+1>u_n =>  $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}>1$

+) $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}>1$ n∈N* <=> u_n+1>u_n => dãy số (u_n) là dãy số tăng.

BT 6 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi P_n (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng. 

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng

c) Dự đoán công thức của Pn tính theo n

Đáp án:

a) Sau 1 tháng, chị có số tiền trong ngân hàng là:

      P₁=100+100.0,5%+6=106,5 (triệu đồng).

b) Sau 2 tháng, chị có số tiền trong ngân hàng là:

      P₂=P₁(1+0,5%)+6=113,0325 (triệu đồng)

    Sau 3 tháng, chị có số tiền trong ngân hàng là:

     P₃=P₂(1+0,5%)+6≈119,6 (triệu đồng)

c) Sau n tháng, chị có số tiền trong ngân hàng là:  

P_n= 100.(1 + 0,5%)$^{n}$ + 6(1 + 0,5%)$^{n-1}$ + 6(1 + 0,5%)$^{n-2}$+ 6.(1 + 0,5%)$^{n-3}$+ ... + 6 với mọi n ∈ ℕ*