1. KHÁI NIỆM

HĐ1

• Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 1 giây là: 20 . 1 = 20 (m).
• Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 2 giây là: 20 . 2 = 40 (m).
• Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 3 giây là: 20 . 3 = 60 (m).
• Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 4 giây là: 20 . 4 = 80 (m).
• Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 5 giây là: 20 . 5 = 100 (m).

Vậy các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang là: 20, 40, 60, 80, 100.

Khái niệm

• Mỗi hàm số u: {1; 2; 3; …; m} → R ( m ∈ N*) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng với đúng một số u$_{k}$ nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u$_{1}$, u$_{2}$, u$_{3}$,…, u$_{m}$.

• Số u$_{1}$ được gọi là số hạng đầu, số u$_{m}$ được gọi là số hạng cuối của dãy số đó.

Ví dụ 1: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Luyện tập 1

Số hạng đầu: 1, số hạng cuối: 125

Dạng khai triển của dãy số: 1, 8, 27, 64, 125. 

HĐ2

Ta có: $u_{1}=\frac{1}{1}=1;u_{2}=\frac{1}{2};u_{3}=\frac{1}{3};...;u_{n}=\frac{1}{n}$;…. 

Khái niệm

• Mỗi hàm số: u: N* → R được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số u$_{n}$ nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u$_{1}$, u$_{2}$, u$_{3}$,…, u$_{n}$, ...

• Dãy số đó còn được viết tắt là (u$_{n}$).
• Số u$_{1}$ gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u$_{2}$ gọi là số hạng thứ hai,…, số u$_{n}$ gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số đó.

Chú ý: Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.

Ví dụ 2: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Luyện tập 2

a) Năm số hạng đầu của dãy số: 1; 4; 9; 16; 25

    Số hạng tổng quát của dãy số: $(u_{n})=n^{2}$ với n ∈ N.

b) Dạng khai triển của dãy số: 1; 4; 9; ...; $n^{2}$; ...

2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

HĐ3

a) Cách xác định mỗi số hạng của các dãy số đã cho là:

• Dãy số (1) được xác định bằng cách liệt kê.
• Dãy số (2) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.
• Dãy số (3) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.
• Dãy số (4) được xác định bằng cách cho bằng phương pháp quy hồi.

b) Từ ý a) ta có thể thấy dãy số có thể cho bằng 4 phương pháp: liệt kê, diễn đạt bằng lời các xác định mỗi số hạng của dãy số đó, cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó, cho bằng phương pháp quy hồi.

Cách cho một dãy số:

• Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).
• Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.
• Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.
• Cho bằng phương pháp truy hồi.

Ví dụ 3: (SGK – tr.45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.45).

Ví dụ 4: (SGK – tr.46).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).

Luyện tập 3

$u_{33}= \frac{33-3}{3.33+1}=\frac{3}{10}$

$u_{333}=\frac{33}{100}$

Dạng khai triển của dãy số: $-\frac{1}{2};-\frac{1}{7};0;\frac{1}{13};$...$\frac{3}{10}$;...$\frac{33}{100}$...; $u_{n}=\frac{n-3}{3n+1}$; ...

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

HĐ4

Ta có: $u_{n+1}=(n+1)^{2}=n^{2}+2n+1$

Xét hiệu: $u_{n+1}-u_{n}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$ > 0 với mọi n ∈ N*.

Vậy $u_{n+1}>u_{n}$.

Khái niệm

• Dãy số (u$_{n}$) được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1}>u_{n}$ với mọi n∈N*.
• Dãy số (u$_{n}$) được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1}<u_{n}$ với mọi n∈N*.

Ví dụ 5: (SGK – tr.46).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).

Luyện tập 4

Ta có:

Với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$,  ta có: $u_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}$.

Xét hiệu: $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}-\frac{1}{3^{n}}=-\frac{2}{3^{n+1}}< 0$ hay $u_{n+1}< v_{n}$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$. 

Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm. 

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay dãy số giảm. Chẳng hạn, dãy số (u$_{n}$) với $u_{n}=(-1)^{n}$ có dạng khai triển: -1;1; -1;1; -1;…. Không là dãy số tăng, cũng không là dãy dãy số giảm.

4. DÃY SỐ BỊ CHẶN 

HĐ5

Xét hiệu: $u_{n}-2=1+\frac{1}{n}-2=\frac{1}{n}-1$

Vì n ∈ N* nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n}$ ≤ 1 

Do đó: $\frac{1}{n}$ - 1 ≤ 0

Vậy u$_{n}$ - 2 ≤ 0 hay u$_{n}$ ≤ 2

Khái niệm

• Dãy số (u$_{n}$) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u$_{n}$ ≤ M với mọi n ∈ N*.
• Dãy số (u$_{n}$) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u$_{n}$ ≥ m với mọi n ∈ N*.
• Dãy số (u$_{n}$) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao cho m ≤ u$_{n}$ ≤ M với mọi n ∈ N*.

Câu hỏi

Với mọi n ∈ N* ta có: $u_{n}=\frac{2n+1}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$

Vì $0<\frac{3}{n+2}\leq 1$,∀n ∈ N* nên $1\leq 2-\frac{3}{n+2}<2$,∀n ∈ N*

Nên dãy số bị chặn trên.

=> Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn.

Ví dụ 6: (SGK – tr.46).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).

Luyện tập 5

Ta có: $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(n^{2}+2)}<\frac{1}{2}$, với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.

Có $u_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+4}>0$

Do đó $0<u_{n}<\frac{1}{2}$, với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.

Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.