Bài 1 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết u₁ = 2 và u_n= $\frac{u_{n-1}+1}{2}$ với mọi n ≥ 2. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là:

A. 2; 1;$ \frac{3}{2}$

B. 2;$ \frac{3}{2}$;$\frac{5}{2}$

C. 2;$ \frac{3}{2}$;$\frac{5}{4}$

D. 2;$ \frac{3}{2}$; 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: u1 =2; u2=$\frac{u_{1}+1}{2}$=$\frac{3}{2}$; u3=$\frac{u_{2}+1}{2}$=$\frac{3}{2}$

Bài 2 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n=$\frac{2n^{2}-1}{n^{2}+2}$. Số hạng u₁₀ là:

A. $\frac{19}{12}$

B. $\frac{33}{34}$

C. $\frac{199}{102}$

D. $\frac{3}{4}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có u₁₀=$\frac{2.10^{2}-1}{10^{2}+2}$=$\frac{199}{102}$

Bài 3 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết u_n=$\frac{n+1}{3n-2}$. Với u_k=$\frac{8}{19}$  là số hạng của dãy số thì k bằng:

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử u_k=$\frac{8}{19}$  là một số hạng của dãy số (u_n).

Khi đó k ∈ ℕ* và u_k=$\frac{k+1}{3k-2}$ = $\frac{8}{19}$, suy ra 19(k + 1) = 8(3k – 2)

⇔ 19k + 19 = 24k – 16

⇔ 24k – 19k = 19 + 16

⇔ 5k = 35

⇔ k = 7 (t/m).

Vậy k = 7.

Bài 4 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n = 3n. Số hạng u_n+1 bằng:

A. 3ⁿ . 3.

B. 3ⁿ + 3.

C. 3ⁿ + 1.

D. 3(n + 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có u_n+1 = 3^{n + 1} = 3ⁿ . 3¹ = 3ⁿ . 3.

Bài 5 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) được xác định như sau, dãy số giảm là:

A. u_n=$\frac{3n-1}{n+1}$

B. u_n = n³.

C. u_n=$\frac{1}{3^{n+1}}$

D. u_n=$\sqrt{n}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án C, ta có:

u_n+1−u_n=$\frac{1}{3^{n+1+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3^{n+2}}-\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{3^{n+1}-3^{n+2}}{3^{n+1}.3^{n+2}}=\frac{3.3^{n}-9.3^{n}}{3^{n+1}.3^{n+2}}=\frac{-6.3^{n}}{3^{n+1}.3^{n+2}}<0$ với mọi n ∈ ℕ*.

Suy ra u_{n + 1} – u_n < 0, tức là u_{n + 1} < u_n.

Vậy dãy số (u_n) với un=$\frac{1}{3^{n+1}}$ là dãy số giảm.

Bài 6 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n = cos n. Dãy số (u_n) là:

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số bị chặn.  

D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có – 1 ≤ cos n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, – 1 ≤ u_n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Khi đó dãy số (u­_n) bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi – 1.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 7 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u_n), biết u_n = 3n – 1.

Lời giải:

Ta có u₁ = 3 . 1 – 1 = 2; u₂ = 3 . 2 – 1 = 5;

u₃ = 3 . 3 – 1 = 8; u₄ = 3. 4 – 1 = 11;

u₅ = 3 . 5 – 1 = 14; u₆ = 3 . 6 – 1 = 17.

Do đó, u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57.

Vậy tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u­_n) là 57.

Bài 8 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và u_n=$\sqrt{2+u_{n-1}^{2}}$. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Năm số hạng đầu của dãy số (un) là: u₁ = 2;

u₂=$\sqrt{2+u_{1}^{2}}=\sqrt{2+2^{2}}=\sqrt{6}$

u₃=$\sqrt{2+u_{2}^{2}}=\sqrt{2+\sqrt{6}^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

u₄=$\sqrt{2+u_{3}^{2}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}^{2}}=\sqrt{10}$

u₅=$\sqrt{2+u_{4}^{2}}=\sqrt{2+\sqrt{10}^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Ta thấy 2=$\sqrt{2.(1+1)};\sqrt{6}=\sqrt{2.(2+1)};\sqrt{8}=\sqrt{2.(3+1)};\sqrt{10}=\sqrt{2.(4+1)};\sqrt{12}=\sqrt{2.(5+1)}$

Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là u_n=$\sqrt{2.(n+1)}$

với mọi n ≥ 2.

Bài 9 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số y=$ \frac{2x-1}{2x^{2}+1}$ có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi A_n là giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng x = n. Xét dãy số (u_n), biết u_n là tung độ của điểm A_n. Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Với x = n, ta có y_n=$ \frac{2n-1}{2n^{2}+1}$, suy ra A_n(n;$ \frac{2n-1}{2n^{2}+1}$)

Vì dãy số (u_n) có u_n là tung độ của điểm A_n, do đó u_n=$ \frac{2n-1}{2n^{2}+1}$

Vậy công thức của số hạng tổng quát là u_n=$ \frac{2n-1}{2n^{2}+1}$

Bài 10 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un), biết 

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Lời giải:

a) Bốn số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

Vậy u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

c) Theo câu b) ta có u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

Do đó, u₁ = u₅ = u₉, u₂ = u₆ = u₁₀, u₃ = u₇ = u₁₁, u₄ = u₈ = u₁₂.

Tổng 12 số hạng đầu của dãy số là:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + ... + u₁₂ = 3(u₁ + u₂ + u₃ + u₄)

                                        = 3$ (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{2}}{2})$

Bài 11 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết:

a) u_n = 2n + 3;

b) u_n = 3n – n;

c) u_n=$ \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$

d) u_n = sin n.  

Lời giải:

a) Ta có u_{n + 1} = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5.

Xét u_{n + 1} – u_n = (2n + 5) – (2n + 3) = 2 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, u_{n + 1} > uⁿ với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n = 2n + 3 là dãy số tăng.

b) Ta có u_{n + 1} = 3n + 1 – (n + 1) = 3 . 3ⁿ – n – 1.

Xét u_{n + 1} – u­_n = (3 . 3ⁿ – n – 1) – (3ⁿ – n) = 3 . 3ⁿ – 3ⁿ – 1 = 2 . 3ⁿ – 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, u_{n +} 1 > u_n với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (u_n) với u­_n = 3ⁿ – n là dãy số tăng.

c) Ta có u_{n + 1} = $ \frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}}{2.2^{n}}$

Xét  u_n+1−un=$ \frac{\sqrt{n+1}}{2.2^{n}}- \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}= 2.2^{n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{4n})$<0 với mọi n ∈ ℕ*.

(do – 3n + 1 < 0, 2ⁿ > 0 và  với mọi n ∈ ℕ*).

Do vậy, u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n là dãy số giảm.

d) Xét hiệu:

 H=u_n+1−u_n=sin(n+1)−sinn=$2cos\frac{n+1+n}{2}sin\frac{n+1-n}{2}=2cos\frac{2n+1}{2}sin\frac{1}{2}$

Với ∀n∈N ta không thể xác định dấu của $cos\frac{2n+1}{2}$, tức là ta không thể kết luận H>0 hay H<0
Bài 12 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n=$\frac{an+2}{n+1}$ với a là số thực. Tìm a để dãy số (u_n) là dãy số tăng.
Lời giải:

Ta có u_n+1=$\frac{a(n+1)+2}{n+1+1}=\frac{an+a+2}{n+2}$

Xét u_n+1−u_n=$\frac{an+a+2}{n+2}-\frac{an+2}{n+1}=\frac{(an+a+2)(n+1)-(an+2)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{an^{2}+an+an+a+2n+2-an^{2}-2an-2n-4}{(n+2)(n+1)}=\frac{a-2}{(n+2)(n+1)}$

Để dãy số (u_n) là dãy số tăng thì u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ* hay u_{n + 1} – u_n > 0 với mọi n ∈ ℕ*, tức là $\frac{a-2}{(n+2)(n+1)}$>0với mọi n ∈ ℕ*.

Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Nên $\frac{a-2}{(n+2)(n+1)}$ >0⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

Vậy (u_n) là dãy số tăng khi a > 2.

Bài 13 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) Dãy số (u_n) với u_n=$\sqrt{n^{2}+1}$ bị chặn dưới;

b) Dãy số (u­_n) với u_n = – n² – n bị chặn trên;  

c) Dãy số (u_n) với u_n=$\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn. 

Lời giải:

a) Ta có n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, $\sqrt{n^{2}+1}\geq \sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n bị chặn dưới.

b) Ta có – n² – n ≤ – 2 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (u_n) với u_n = – n² – n bị chặn trên.

c) Ta có $\frac{2n+1}{n+2}$>0 với mọi n ∈ ℕ*. Do đó, dãy số (u_n) với u_n=$\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn dưới. (1)

Lại có $\frac{2n+1}{n+2}$=$\frac{2(n+2)-3}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$<2 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (u_n) với u_n=$\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn trên. (2)

Từ (1) và (2), suy ra dãy số (u_n) với u_n=$\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn.

Bài 14 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Với mỗi số nguyên dương n, lấy n + 6 điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi u_n là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số (u_n). Tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Ta thấy đường tròn được chia thành n + 6 cung bằng nhau và mỗi cung có số đo bằng $(\frac{360}{n+6})^{\circ}$. Do mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn n + 6 – 2 . 3 = n cung bằng nhau đó. Suy ra số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao là u_n=$\frac{1}{2}.\frac{360}{n+6}.n=\frac{180n}{n+6}$