Giải SBT Toán 11 cánh diều bài 2 Cấp số cộng
Giải chi tiết sách bài tập Toán 11 tập 1 Cánh diều bài 2 Cấp số cộng. Tech12h sẽ hướng dẫn giải tất cả câu hỏi và bài tập với cách giải nhanh và dễ hiểu nhất. Hi vọng, thông qua đó học sinh được củng cố kiến thức và nắm bài học tốt hơn.
Bài 15 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?
A. un = 3n.
B. un = 1 – 3n.
C. un = 3n + 1.
D. un = 3 + n2.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án B là cấp số cộng.
Thật vậy, ta có un – un – 1 = (1 – 3n) – [1 – 3(n – 1)] = 1 – 3n – 1 + 3n – 3 = – 3 luôn không đổi với mọi n ∈ ℕ* và u1 = 1 – 3 . 1 = – 2.
Vậy (un) với un = 1 – 3n là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = – 2 và công sai d = – 3.
Bài 16 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) biết u1=$ \frac{1}{3}$; u8 = 26. Công sai d của cấp số cộng đó là:
A. $ \frac{11}{3}$
B. $ \frac{10}{3}$
C. $ \frac{3}{13}$
D. $ \frac{3}{11}$
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi d là công sai của cấp số cộng.
Ta có u8 = u1 + (8 – 1)d = u1 + 7d.
Mà u1=$ \frac{1}{3}$; u8 = 26 nên ta có 26 = $ \frac{1}{3}$ + 7d, từ đó suy ra d = $ \frac{11}{3}$
Bài 17 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. Ba số hạng đó lần lượt là:
A. 7; 12; 17.
B. 6; 10; 14.
C. 8; 13; 18.
D. 6; 12; 18.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2, công sai d, ba số hạng xen giữa 2 và 22 lần lượt là u2, u3, u4 và số hạng thứ năm là u5 = 22.
Khi đó ta có u5 = u1 + (5 – 1)d = 2 + 4d = 22, suy ra d = 5.
Do đó, u2 = u1 + d = 2 + 5 = 7; u3 = u2 + d = 7 + 5 = 12 và u4 = u3 + d = 12 + 5 = 17.
Vậy ba số hạng cần tìm là 7; 12; 17.
Bài 18 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) biết u5 + u7 = 19. Giá trị của u2 + u10 là:
A. 38.
B. 29.
C. 12.
D. 19.
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Giả sử d là công sai của cấp số cộng (un).
Ta có u5 + u7 = [u1 + (5 – 1)d] + [u1 + (7 – 1)d] = 2u1 + 10d.
Và u2 + u10 = (u1 + d) + [u1 + (10 – 1)d] = 2u1 + 10d.
Do đó, u2 + u10 = u5 + u7 = 19.
Bài 19 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (un) là cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2, công sai d = − 5. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:
A. – 410.
B. – 205.
C. 245.
D. – 230.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:
S10=$ \frac{(2u_{1}+(10-1)d).10}{2}=\frac{(2.2+9.(-5)).10}{2}=-205$
Bài 20 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (un) là cấp số cộng có Sn = n2 + 4n với n ∈ ℕ*. Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó là:
A. u1 = 3, d = 2.
B. u1 = 5, d = 2.
C. u1 = 8, d = – 2.
D. u1 = – 5, d = 2.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có S1 = 12 + 4 . 1 = 5 = u1;
S2 = 22 + 4 . 2 = 12, mà S2 = u1 + u2 = 5 + u2, từ đó suy ra u2 = 12 – 5 = 7.
Do đó, công sai d của cấp số cộng là d = u2 – u1 = 7 – 5 = 2.
Vậy u1 = 5, d = 2.
Bài 21 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho ba số $ \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a2, b2, c2 theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
Lời giải:
Do ba số $ \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên
⇔$ \frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}$
⇔$ \frac{2}{c+a}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}$
⇔$ \frac{2}{c+a}=\frac{b+c+a+b}{(a+b)(b+c)}$
⇔$\frac{2}{c+a}=\frac{2b+c+a}{(a+b)(b+c)}$
⇒ 2(a + b)(b + c) = (c + a)(2b + c + a)
⇔ 2ab + 2ac + 2b2 + 2bc = 2bc + c2 + ca + 2ab + ac + a2
⇔ 2b2 = a2 + c2
⇔ b2 – a2 = c2 – b2.
Suy ra ba số a2, b2, c2 theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
Bài 22 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm x để ba số 10 – 3x, 2x2 + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Lời giải:
Ba số 10 – 3x, 2x2 + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi
(2x2 + 3) – (10 – 3x) = (7 – 4x) – (2x2 + 3)
⇔ 2x2 + 3 – 10 + 3x = 7 – 4x – 2x2 – 3
⇔ 4x2 + 7x – 11 = 0
Vậy thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 23 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết:
Lời giải:
a) Ta có:
Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 3.
b) Ta có
Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1 = 16 và công sai d = – 3.
c) Ta có
Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 3.
Bài 24 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (un) là cấp số cộng có u2 + u4 = 22, u1 . u5 = 21 và công sai d dương.
a) Tính u100, S100.
b) Tính tổng: u1 + u5 + u9 + ... + u101.
Lời giải:
Ta có u2 + u4 = (u1 + d) + (u1 + 3d) = 2u1 + 4d = 22, suy ra 4d = 22 – 2u1.
Lại có u1 . u5 = u1 . (u1 + 4d) = u1 . (u1 + 22 – 2u1) = u1 . (22 – u1).
Mà u1 . u5 = 21, do đó u1 . (22 – u1) = 21 ⇔ 22u1 – u12 – 21 = 0
Với u1 = 1, suy ra d=$ \frac{22-2u_{1}}{4}=\frac{22-2.1}{4}=5>0$ (thỏa mãn).
Với u1 = 21, suy ra d=$ \frac{22-2u_{1}}{4}=\frac{22-2.21}{4}=-5<0$ (không thỏa mãn).
Vậy cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 5.
a) Ta có: u100 = u1 + (100 – 1)d = 1 + 99 . 5 = 496.
b) Ta có u5 – u1 = (u1 + 4d) – u1 = 4d, tương tự u9 – u5 = 4d, ...
Do đó các số u1, u5, u9, ..., u100 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d' = 4d = 4 . 5 = 20.
Lại có (101 – 1) : 4 + 1 = 26 nên tổng u1 + u5 + u9 + ... + u101 gồm 26 số hạng.
Do vậy, u1 + u5 + u9 + ... + u101
Bài 25 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng bằng 480.
Lời giải:
Gọi số hạng nhỏ nhất trong các số cần tìm là u và công sai của cấp số cộng là d.
Khi đó, năm số hạng liên tiếp là u, u + d, u + 2d, u + 3d, u + 4d.
Vì tổng của chúng bằng 40 nên u + u + d + u + 2d + u + 3d + u + 4d = 40
⇔ 5u + 10d = 40 ⇔ u + 2d = 8.
⇔ u = 8 – 2d. (1)
Lại có tổng bình phương của chúng bằng 480 nên
u2 + (u + d)2 + (u + 2d)2 + (u + 3d)2 + (u + 4d)2 = 480. (2)
Thế (1) vào (2) ta được:
(8 – 2d)2 + (8 – 2d + d)2 + (8 – 2d + 2d)2 + (8 – 2d + 3d)2 + (8 – 2d + 4d)2 = 480
⇔ (8 – 2d)2 + (8 – d)2 + 82 + (8 + d)2 + (8 + 2d)2 = 480
⇔ 64 – 32d + 4d2 + 64 – 2d + d2 + 64 + 64 + 2d + d2 + 64 + 32d + 4d2 = 480
⇔ 10d2 + 320 = 480
⇔ 10d2 = 160
⇔ d2 = 16
⇔ d = ±4
+ Với d = 4, ta có u = 8 – 2 . 4 = 0.
+ Với d = – 4, ta có u = 8 – 2 . (– 4) = 16.
Vậy năm số hạng liên tiếp cần tìm là 0, 4, 8, 12, 16.
Bài 26 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (un) là cấp số cộng có u1 + u5 + u9 + u13 + u17 + u21 = 234.
a) Tính u2 + u8 + u14 + u20.
b) Tìm u1, d, biết u10 = 37.
Lời giải:
a) Ta có: u1 + u5 + u9 + u13 + u17 + u21
= u1 + (u1 + 4d) + (u1 + 8d) + (u1 + 12d) + (u1 + 16d) + (u1 + 20d)
= 6u1 + 60d
Mà u1 + u5 + u9 + u13 + u17 + u21 nên 6u1 + 60d = 234 ⇔ u1 + 10d = 39.
Lại có u2 + u8 + u14 + u20 = (u1 + d) + (u1 + 7d) + (u1 + 13d) + (u1 + 19d)
= 4u1 + 40d = 4(u1 + 10d) = 4 . 39 = 156.
Vậy u2 + u8 + u14 + u20 = 156.
b) Ta có u1 + 10d = (u1 + 9d) + d = u10 + d = 39.
Mà u10 = 37 nên suy ra d = 39 – u10 = 39 – 37 = 2.
Do đó, u1 = 39 – 10d = 39 – 10 . 2 = 19.
Vậy u1 = 19 và d = 2.
Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) biết u1 = – 2, un+1=$ \frac{u_{n}}{1-u_{n}}$ với n ∈ ℕ*. Đặt vn= $ \frac{u_{n}+1}{u_{n}}$ với n ∈ ℕ*.
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.
b) Tìm công thức của vn, un tính theo n.
c) Tính tổng S=$ \frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{3}}+...+\frac{1}{u_{20}}$
Lời giải:
a) Ta có vn= $ \frac{u_{n}+1}{u_{n}}$ , vn+1= $ 1+\frac{1}{u_{n+1}}=1+\frac{\frac{1}{u_{n}}}{1-u_{n}}=1+\frac{1-u_{n}}{u_{n}}=\frac{1}{u_{n}}$ Khi đó, vn+1−vn=$ \frac{1}{u_{n}}-(1+\frac{1}{u_{n}})=-1$ không đổi với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu là v1=và công sai d = – 1.
b) Ta có vn=v1+(n−1)d=$ \frac{1}{2}$+(n−1).(−1)=$ \frac{1}{2}$−n+1=$ \frac{3}{2}$−n
Vì vn=$ 1+\frac{1}{u_{n}}$ nên $ 1+\frac{1}{u_{n}}$ = $ \frac{3}{2}-n$ ⇔$ \frac{1}{u_{n}}=\frac{1}{2}-n$ ⇔un=$ \frac{2}{1-2n}$
Vậy vn=$ \frac{3}{2}$−n và un=$ \frac{2}{1-2n}$
c) Từ vn=$1+\frac{1}{u_{n}}$ , suy ra $\frac{1}{u_{n}}=v_{n}-1$
Khi đó ta có S=$ \frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{3}}+...+\frac{1}{u_{20}}$
= (v1 – 1) + (v2 – 1) + (v3 – 1) + ... + (v20 – 1)
= (v1 + v2 + v3 + ... + v20) – 20.
Mà v1 + v2 + v3 + ... + v20 là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (vn) nên
v1 + v2 + v3 + ... + v20= =-180
Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.
Bài 28 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?
Lời giải:
Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).
Vậy tổng số tiếng chuông là:
S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = $ \frac{(1+12).12}{2}+11$ = 89 (tiếng chuông).
Bài 29 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, ..., lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp.
Lời giải:
Tổng số khúc gỗ được xếp là:
15 + 16 + ... + 21 = $ \frac{(15+21).7}{2}$ = 126 (khúc gỗ).
Nội dung quan tâm khác
Thêm kiến thức môn học
Giải bài tập những môn khác
Giải sgk lớp 11 KNTT
Giải sgk lớp 11 CTST
Giải sgk lớp 11 cánh diều
Giải SBT lớp 11 kết nối tri thức
Giải SBT lớp 11 chân trời sáng tạo
Giải SBT lớp 11 cánh diều
Giải chuyên đề học tập lớp 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề toán 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề ngữ văn 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề vật lí 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề hóa học 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề sinh học 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề kinh tế pháp luật 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề lịch sử 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề địa lí 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề mĩ thuật 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề âm nhạc 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề công nghệ chăn nuôi 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề công nghệ cơ khí 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề tin học 11 định hướng Khoa học máy tính kết nối tri thức
Giải chuyên đề tin học 11 định hướng Tin học ứng dụng kết nối tri thức
Giải chuyên đề quốc phòng an ninh 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề hoạt động trải nghiệm hướng nghiệp 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề học tập lớp 11 chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề học tập lớp 11 cánh diều
Trắc nghiệm 11 Kết nối tri thức
Trắc nghiệm 11 Chân trời sáng tạo
Trắc nghiệm 11 Cánh diều
Bộ đề thi, đề kiểm tra lớp 11 kết nối tri thức
Đề thi Toán 11 Kết nối tri thức
Đề thi ngữ văn 11 Kết nối tri thức
Đề thi vật lí 11 Kết nối tri thức
Đề thi sinh học 11 Kết nối tri thức
Đề thi hóa học 11 Kết nối tri thức
Đề thi lịch sử 11 Kết nối tri thức
Đề thi địa lí 11 Kết nối tri thức
Đề thi kinh tế pháp luật 11 Kết nối tri thức
Đề thi công nghệ cơ khí 11 Kết nối tri thức
Đề thi công nghệ chăn nuôi 11 Kết nối tri thức
Đề thi tin học ứng dụng 11 Kết nối tri thức
Đề thi khoa học máy tính 11 Kết nối tri thức
Bộ đề thi, đề kiểm tra lớp 11 chân trời sáng tạo
Bộ đề thi, đề kiểm tra lớp 11 cánh diều
Đề thi Toán 11 Cánh diều
Đề thi ngữ văn 11 Cánh diều
Đề thi vật lí 11 Cánh diều
Đề thi sinh học 11 Cánh diều
Đề thi hóa học 11 Cánh diều
Đề thi lịch sử 11 Cánh diều
Đề thi địa lí 11 Cánh diều
Đề thi kinh tế pháp luật 11 Cánh diều
Đề thi công nghệ cơ khí 11 Cánh diều
Đề thi công nghệ chăn nuôi 11 Cánh diều
Đề thi tin học ứng dụng 11 Cánh diều
Đề thi khoa học máy tính 11 Cánh diều
Bình luận