I. ĐỊNH NGHĨA

LT-VD 1 trang 49 sgk toán 11 cánh diều

Cho ($u_{n}$) là cấp số cộng với $u_{1}$ = −7, $u_{2}$ = −2. Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó

Đáp án:

Công sai  d=(-2)-(-7)=5 

5 số hạng đầu là :

$u_{1}$ =-7

$u_{2}$ =-2

$u_{3}$ =3 

$u_{4}$ =8 

$u_{5}$ =13

LT-VD 2 trang 50 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = −5n + 7 ($n\geq$ 1). Dãy ($u_{n}$) có là cấp số cộng không? Vì sao?

Đáp án:

$u_{n+1}$=-5(n+1)+7=-5n+2 

=> $u_{n+1}-u_{n}$=(-5n+2)-(-5n+7)=-5 

=> ($u_{n}$) là một cấp số cộng.

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

LT-VD 3 trang 50 sgk toán 11 cánh diều

Hãy giải bài toán trong phần mở đầu.

Đáp án:

Công thức tổng quát: $u_{n}=u_{1}+(n-1).d$ =1250+(n-1).1,2 

Độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là:

$u_{10}$ =1250+(10-1).1,2=1260,8 (m)

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

LT-VD 4 trang 51 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau: 

a) 3,1, -1, ... với n = 10

b) 1, 2; 1, 7; 2, 2; ... với n = 15

Đáp án:

a) $u_{10}$=3+(10-1).(-2) =-15 

$S_{10}=\frac{[3+(-15)].10}{2}=-60$ 

b) $u_{15}$=1,2+(15-1).0,5=8,2

$S_{15}=\frac{(1,2+8,2).15}{2}=70,5$  

BÀI TẬP CUỐI SGK

BT 1 trang 51 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? 

a) 10; −2; −14; −26; −38

b) $\frac{1}{2}$; $\frac{5}{4}$; 2; $\frac{11}{4}$; $\frac{7}{2}$

c) $1^{2}$; $2^{2}$; $3^{2}$; $4^{2}$; $5^{2}$

d) 1, 4, 7, 10, 13

Đáp án:

a) $u_{1}$=10 ; d=-12 => dãy số là cấp số cộng

b) $u_{1}=\frac{1}{2}$ ; $d=\frac{3}{4}$  => dãy số là cấp số cộng

c) Vì $2^{2}-1^{2} \neq 3^{2}-2^{2}$ => dãy số không là cấp số cộng 

d) $u_{1}=1$ ; d=3 => dãy số là cấp số cộng.

BT 2 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số ($u_{n}$) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d...

Đáp án:

a) $u_{n+1}$=3-2(n+1)=1-2n => $u_{n+1}-u_{n}$=-2 

=> dãy số là cấp số cộng có $u_{1}$=1; d=-2

b) $u_{n+1}=\frac{3(n+1)+7}{5}=\frac{3n+10}{5}$ => $u_{n+1}-u_{n}=\frac{3}{5}$

=> dãy số là cấp số cộng có $u_{1}$=2 ; $d=\frac{3}{5}$

c) $u_{n+1}=3^{n+1}=3.3^{n}$ => $u_{n+1}-u_{n} =2.3^{n}$ với n∈N*

=> dãy số không là cấp số cộng.

BT 3 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có số hạng đầu $u_{1}$ = −3, công sai d = 5. 

a) Viết công thức của số hạng tổng quát un. 

b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Đáp án:

a) $u_{n}$=(-3)+(n-1).5=5n-8 

b) 5n-8=492 ⟺ n=100 => số 492 là số thứ 100

c) 5n-8=300 ⟺ n=61,6∉N* => không có số hạng nào bằng 300

BT 4 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có $u_{1}$ = 4, $u_{2}$ = 1. Tính $u_{10}$

Đáp án:

d=1-4=-3 => $u_{10}$=4+(10-1).(-3)=-23

BT 5 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng ($u_{n}$) với $u_{1}$= 1/3 và $u_{1} + u_{2} + u_{3}$ = −1

a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát $u_{n}$. 

b) Số −67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? 

c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Đáp án:

a)  $u_{1}+u_{2}+u_{3}$=-1 <=> $3u_{1}+3d=-1$ ⬄ $d = -\frac{2}{3}$ ( vì $u_{1}=\frac{1}{3}$)

=> $u_{n}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}(n-1)=-\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$, $\forall$ n∈N*

b) $-\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$=-67 ⟺ n=101 => Số -67 là số hạng thứ 101

c) $-\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$=7⟺ n=-10∉N* => Không tồn tại số 7 trong dãy

BT 6 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số  ($u_{n}$) với $u_{n}$ = 0,3n + 5 với mọi $n \geq$ 1

Đáp án:

$u_{n+1}$=0,3.(n+1)+5=0,3n+5,3 => d= $u_{n+1}-u_{n}$ =0,3

$u_{n}$=5,3+(n-1).0,3 => $u_{100}$=5,3+(100-1).0,3=35

=> $S_{100}=\frac{(5,3+35).100}{2}$ =2015

BT 7 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: $x_{n}$ = 75 + 5(n−1). 

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimet?

b) Dãy số ($x_{n}$) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimet?

Đáp án:

a) $x_{3}$ = 75 + 5.(3 -1) = 85 (cm) 

b) $x_{n+1}$=75+5n => $x_{n+1}-x_{n}$ =5 => dãy số ($x_{n}$) là cấp số cộng.

Trung bình mỗi năm, đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên 5 cm.

BT 8 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: 

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. 

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu. 

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Đáp án: