I. KHÁI NIỆM

LT-VD 1 trang 74 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính liên tục của hàm số f(x) = $x^{3}$ + 1 tại $x_{0}$ = 1. 

Đáp án:

f(1)= $1^{3}$ +1=2 ; $\lim_{x\rightarrow 1}{( x^{3}+1)}$ =2 

=> $\lim_{x\rightarrow 1}{ f(x)}$ =f(1)

=> hàm số liên tục tại $x_{0}$ =1

LT-VD 2 trang 75 sgk toán 11 cánh diều

Hàm số...có liên tục trên R hay không? 

Đáp án:

$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}{ f(x)}=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}{(-x)}=-2$ ; $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}{ f(x)}=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}{(x-1)}=1$ ; f(2)=-2

Hàm số không liên tục tại x=2 => không liên tục trên R.

II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 

LT-VD 3 trang 76 sgk toán 11 cánh diều

Hàm số f(x)... có liên tục trên mỗi khoảng ($−\infty$;8), (8;$+\infty$) hay không?

Đáp án:

f(x)= $\frac{x+2}{x-8}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định khi x ≠ 8 

=> f(x) liên tục trên mỗi khoảng ($-\infty$; 8),(8;$+\infty$).

LT-VD 4 trang 76 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính liên tục của hàm số f(x) = sin x + cos x trên R.

Đáp án:

y = sin x ; y = cos x liên tục trên R => y = sin x + cos x liên tục trên R.

BÀI TẬP CUỐI SGK

BT 1 trang 77 sgk toán 11 cánh diều

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = $2x^{3} + x + 1$ tại điểm x = 2 

Đáp án:

$\lim_{x\rightarrow 2}{( 2x^{3}+x+1)}=2.2^{3}+2+1= 17 =f(2)$

=> f(x) liên tục tại x =2

BT 2 trang 77 sgk toán 11 cánh diều

Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

Đáp án:

a) Đồ thị là đường cong liền => hàm số liên tục trên R

b) Đồ thị là đường cong liền trong các khoảng ($-\infty$;1); (1;$+\infty$).
=> Hàm số liên tục trên tập xác định D=R∖{1}.
c) f(-1)=(-1)+1=0

$\lim_{x\rightarrow -1^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow -1^{+}}{ (x+1)}=0$

$\lim_{x\rightarrow -1^{-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow -1^{-}}{ 2x}=2$ 

=> Hàm số liên tục trên các khoảng ($-\infty$;-1) và (-1;$+\infty$).

BT 3 trang 77 sgk toán 11 cánh diều

Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0, còn hàm số y = g(x) không liên tục tại $x_{0}$, thì hàm số y = f(x) + g(x) không liên tục tại $x_{0}$". Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích 

Đáp án:

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})$ ;  

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}{g(x)}\neq g(x_{0})$.
=> $\lim_{x\rightarrow x_{0}}{(f(x)+g(x))}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}+\lim_{x\rightarrow x_{0}}{g(x)} \neq \lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x_{0})}+\lim_{x\rightarrow x_{0}}{g(x_{0})}$
=> Hàm số không liên tục tại $x_{0}$ => ý kiến của Nam đúng.

BT 4 trang 77 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó...

Đáp án:

a) TXĐ :  R.
$x^{2}$ và sin ⁡x liên tục trên R => f(x) liên tục trên R.
b) TXĐ : R∖{1}.
+)  $x^{4}-x^{2}$ liên tục trên toàn bộ tập xác định
+) $\frac{6}{x-1}$ liên tục trên các khoảng ($-\infty$;1) và (1;$+\infty$).
=> g(x) liên tục trên ($-\infty$;1) và (1;$+\infty$).
c)  TXĐ :R∖{-4;3}.

$h(x)=\frac{3x^{2}+4x+3}{(x-3)(x+4)}$

=> h(x)  liên tục trên từng khoảng ($-\infty$;-4); (-4; 3); (3;$+\infty$).

BT 5 trang 77 sgk toán 11 cánh diều

Cho hàm số…

a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?

c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó? 

Đáp án:

a) f(4)=2.0+1=1

$\lim_{x\rightarrow 4}{( x^{2}+x+1)}=4^{2}+4+1=21$ 

=> $f(4) \neq \lim_{x\rightarrow 4}{f(x)}$ => hàm số không liên tục
b) $\lim_{x\rightarrow 4}{( x^{2}+x+1)}=21$ 

f(4)=2.a+1
Để hàm số liên tục tại x=4 ⬄ $\lim_{⁡x\rightarrow 4}{f(x)}=f(4)$

⇔ 21=2a+1 ⇔ a=10

c) TXĐ : R.

+) Với $x_{0}$ ∈($-\infty$;4)∪(4;$+\infty$) có $\lim_{x\rightarrow x_{0}}{(x^{2}+x+1)}=f(x_{0})$

=> f(x) liên tục trên các khoảng ($-\infty$; 4), (4;$+\infty$)

+) Để f(x) liên tục trên R ⬄ f(x) phải liên tục tại x = 4 ⬄ a =10

BT 6 trang 77 sgk toán 11 cánh diều

Hình 16 biểu thị độ cao h (m) của một quả bóng được đá lên theo thời gian t (s), trong đó $h(t) = −2t^{2} + 8t$. 

a) Chứng tỏ hàm số h(t) liên tục trên tập xác định.

b) Dựa vào đồ thị hãy xác định $\lim_{t\rightarrow 2}{(−2t^{2} + 8t)}$

Đáp án: 

a) h(x) là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định.
b) $\lim_{x\rightarrow 2}{( -2t^{2}+8t)}=8$.