1. KHÁI NIỆM

1. Hàm số liên tục tại một điểm

HĐ 1

a) Ta có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}x=1$

b) Ta có: f(1) = 1 nên $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)$

Kết luận: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x$_{0}$ ∈ (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x$_{0}$ nếu $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$.

Nhận xét: Hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x$_{0}$ được gọi là gián đoạn tại  x$_{0}$.

Ví dụ 1 (SGK -tr.73)

Luyện tập 1

Ta có: $f(1)=2$

$\lim_{x\rightarrow 1} f(x)=\lim_{x\rightarrow 1} (x^{3}+1)=2$

Suy ra: $\lim_{x\rightarrow 1} f(x)=f(1)=2$

Do đó: Hàm số $f(x)=x^{3}+1$ liên tục tại $x_{0}=1$.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

HĐ 2

a) Với x$_{0}$ ∈ ℝ bất kì ta có: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=x_{0}+1-f(x_{0})$. Do đó hàm số liên tục tại x = x$_{0}$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị x ∈ ℝ.

Định nghĩa

• Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
• Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và $\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$.

Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a; b], [a; b), (a; +∞), [a; +∞), (-∞; a), (-∞; a], (-∞; +∞) được định nghĩa tương tự.

Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.

Ví dụ 2 (SGK -tr.75)

Luyện tập 2

Ta có: $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}(x-1)=1$

$\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(-x)=-2$

$f(2)=-2$

Do đó: $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=f(2)$

Suy ra hàm số không liên tục tại x = 2.

Vậy hàm số không liên tục trên R

2. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản

HĐ 3:

• Hình 14a đồ thị là đường cong Parabol liền mạch nên hàm số liên tục trên khoảng xác định.
• Hình 14b đồ thị bị chia làm hai nhánh:
• Với x < 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên hàm số liên tục trên khoảng (-∞;1).
• Với x > 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên hàm số liên tục trên khoảng (1;+∞).

Vậy hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.

• Hình 14c đồ thị hàm số y = tan⁡x chia thành nhiều nhánh, và mỗi nhánh là các đường cong liền. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng xác định của chúng.

Định lí: 

• Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác số y = sin⁡x, y = cos⁡x liên tục trên R.
• Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm lượng giác số y = tan⁡x, y = cot x liên tục trên tập xác định của chúng.
• Hàm căn thức y = $\sqrt{x}$ liên tục trên nửa khoảng [0;+∞).

Ví dụ 3 (SGK -tr.76)

Luyện tập 3

Tập xác định: $\mathbb{R} \setminus \left \{ 8 \right \}$

Do hàm số đã cho là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số này liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty,8)$ và $(8,+\infty)$.

2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

HĐ 4

a) Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{3}+x)= 2^{3}+2 = 10 = f(2)$. Do đó hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}+1)= 2^{2}+1 = 5 = g(2)$. Do đó hàm số g(x) liên tục tại x = 2.

b) Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x)=10+5=15=f(2)+g(2)$

Do đó hàm số f(x) + g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)-\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=10-5=5=f(2)-g(2)$

Do đó hàm số f(x) – g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(f(x).g(x))=\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x).\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=10.5=50=f(2).g(2)$

Do đó hàm số f(x).g(x) liên tục tại x = 2.

Tại x = 2 có $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)}{\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)}=\frac{10}{5}=2=\frac{f(2)}{g(2)}$

Do đó hàm số $\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại x = 2.

Định lí: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x$_{0}$. Khi đó:

• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x$_{0}$;
• Hàm số y = $\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại x$_{0}$ nếu g(x$_{0}$) ≠ 0.

Ví dụ 4 (SGK -tr.76)

Luyện tập 4 

Hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R.
Do đó hàm số y = sin⁡x + cos⁡x liên tục trên R