I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG PHÂN BIỆT         

LT-VD 1 trang 97 sgk toán 11 cánh diều

Quan sát một phần căn phòng (Hình 35), hãy cho biết vị trí tương đối của các cặp đường thẳng a và b; a và c; b và c.  

Đáp án:

• a // b 
• Hai đường thẳng b và c cắt nhau.
• Hai đường thẳng a và c chéo nhau.

II. TÍNH CHẤT

LT-VD 2 trang 99 sgk toán 11 cánh diều  

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).

Đáp án:

+) $S \in  (SAB)$ ; $S \in  (SCD)$ => $(SAB)  \cap  (SCD) = {S}$ 

    Mà AB // CD; $AB \subset  (SAB)$; $CD \subset  (SCD)$.

 => $(SAB) \cap  (SCD)$ là đường thẳng n đi qua S và // AB và CD

+) $S \in  (SAD) $; $S \in  (SBC)$ => $(SAD) \cap  (SBC) = {S}$

     Mà AD // BC; $AD \subset  (SAD)$; $BC \subset  (SBC)$.

   => $(SAD) \cap  (SBC)$ là đường thẳng p đi qua S và // AD và BC.

LT-VD 3 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SC. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, BC sao cho $\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}=\frac{1}{3}$. Chứng minh rằng MN song song với PQ. 

Đáp án:

+) $\triangle  SAC$ có MN là đường trung bình => MN // AC (1)

+) $\triangle ABC$ :  $\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}=\frac{1}{3}$=> AC // PQ (2)

Từ (1) và (2) => MN // PQ.

BÀI TẬP CUỐI SGK

BT 1 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Quan sát phòng học của lớp và nêu lên hình ảnh của hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau. 

Đáp án:

BT 2 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Quan sát Hình 43 và cho biết vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin gió có trong hình.

Đáp án:

Hai đường thẳng song song. 

BT 3 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AB, SD. Xác định giao tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau: (SAD) và (SBC); (MNP) và (ABCD). 

Đáp án: 

+) AD // BC ; $BC \subset  (SBC)$; $AB \subset  (SAB)$; $S \in  (SAB)$ và $S \in  (SBC)$.

·        $(SBC) \cap  (SAB)$ là đường thẳng d đi qua S và // AD và BC.

+) $\triangle  SDA$ có MP là đường trung bình => MP // AD.

Mà $AD \subset  (ABCD)$; $MP \subset  (MNP)$; $N \in  (ABCD)$ ; $N \in  (MNP)$

·         $(ABCD)  \cap  (MNP)$ là đường thẳng đi qua N và // AD và BC, cắt CD tại Q, hay giao tuyến là đường thẳng NQ.

BT 4 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_{1},G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng đường thẳng $G_{1}G_{2}$  song song với đường thẳng CD.

Đáp án:

+) Kẻ đường trung tuyến AM của $\triangle ABC$ => $\frac{AG_{1}}{AM}=\frac{2}{3}$

+) Kẻ đường trung tuyến AN của $\triangle ABD$ => $\frac{AG_{2}}{AN}=\frac{2}{3}$

+) $\triangle AMN$ có AG1AM= AG2AN=23 => $G_{1},G_{2}$  // MN 

+) $\triangle  BCD$ có MN là đường trung bình => MN // CD.

·        $G_{1}G_{2}$  // CD (đpcm)

BT 5 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB. Chứng minh rằng đường thẳng NC song song với đường thẳng MD. 

Đáp án:

+) $\triangle ASB$ có MN là đường trung bình => $MN = \frac{1}{2}AB$ ; MN // AB 

+) AB = 2.CD , AB // CD 

·        MN =CD ; MN // CD => MNCD là hình bình hành => MD // NC(đpcm).

BT 6 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA; I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SM, SN, SP, SQ. 

a) CMR  4 điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành. 

b) Chứng minh rằng IK // BC. 

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC).

Đáp án:

a) 

+) $\triangle SQP$ có $LK = \frac{1}{2} PQ$; LK // QP 

+)$ \triangle SMN$ có $JI = \frac{1}{2} MN$ ; JI // MN

Mà  $PQ = MN =  \frac{1}{2} AC$và PQ // MN // AC 

·        JI = LK ;  JI // LK  => I, J, K, L đồng phẳng.

+) Xét tứ giác IJKL có JI = LK và  JI // LK => IJKL là hình bình hành.

b)

    $\triangle SMP$ có:  MP // IK mà MP // BC => IK // BC.

c) +)  $J \in  SN$ ; $ SN \subset  (SBC)$ => $J \in  (SBC)$  mà  $J \in  (IJKL)$

     => $(SBC) \cap   (IJKL)  = { J }$

    +)  IK // BC ; $BC \subset  (SBC)$ ; $IK \subset  (IJKL)$

    => $(IJKL) \cap  (SBC) $là đường thẳng đi qua J // BC cắt SB, SC lần lượt tại B’ và C’, hay giao tuyến là đường thẳng B’C’.

BT 7 trang 100 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Trên cạnh AC lấy điểm K. Gọi M là giao điểm của BK và AI, N là giao điểm của DK và AJ. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng BD. 

Đáp án:

+)  $D \in  (BDK)$ và $D \in  (BCD) $=> $(BDK) \cap  (BCD) ={D}$

     $B \in  (BDK) $và $B \in  (BCD)$ =>$ (BDK) \cap  (BCD) ={B}$

    =>$(BDK) \cap  (BCD) = DB$.( 1)

+)  $M \in  AI$ ; $AI \subset  (AIJ)$ => $M \in  (AIJ)$

     $M \in  BK$ ; $BK \subset  (BDK) $=> $M \in  (BDK)$

    => $(AIJ) \cap  (BDK) = {M}$

+)Tương tự ta có:$ (AIJ) \cap  (BDK) = {N}$

    => $(AIJ) \cap  (BDK) = MN$  (2)

+)$ I \in  BC$ ; $BC \subset  (BCD)$ =>$ I \in  (BCD)$

    Mà  $I \in  (AIJ)$ => $(BCD) \cap  (AIJ) ={I}$

+) Tương tự ta có $(BCD) \cap  (AIJ) ={J}$

    => $(BCD) \cap  (AIJ) =IJ $ (3)

+) $\triangle BCD$ có IJ là đường trung bình của tam giác => JI // BD (4)

+) Từ (1),(2),(3) và (4) => MN // BD (đpcm)