I. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

LT-VD 1 trang 102 sgk toán 11 cánh diều

Quan sát các xà ngang trên sân tập thể dục ở Hình 47. Hãy cho biết vị trí tương đối của các xà ngang đó với mặt sân. 

Đáp án:

Đường thẳng song song với mặt phẳng.

II. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT 

LT-VD 2 trang 102 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không? Vì sao? 

Đáp án:

+) $\triangle ABC$ có MN là đường trung bình => MN // BC

    $BC \subset  (BCD)$,MN⊄(BCD) => MN // (BCD)

+) CM tương tự: NP // (BCD) ; MP // (BCD).

LT-VD 3 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Ở Ví dụ 3, xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt phẳng (ABD), (BCD), (ACD). 

Đáp án:

+) (R) đi qua M và // BD, $BD \subset  (ABD)$ =>$(R) \cap  (ABD) = a$ đi qua M và //BD

+) Gọi $p \cap BC = N$ 

+) (R) đi qua N và // BD, $BD \subset  (BCD)$ =>$(R) \cap  (BCD) = b$ đi qua N và // BD

+) Gọi $a \cap AD = P$ ;$ b \cap  CD = Q$ 

   $P \in  (R)$ ; $P \in  (ACD)$ => $(R) \cap  (ACD) ={P}$

   $Q \in  (R) $; $Q \in  (ACD) $=> $(R) \cap  (ACD) ={Q}$

   => $(R) \cap  (ACD) = PQ$

LT-VD 4 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Trong Hình 56, hai mặt tường của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến b, mép cột gợi nên hình ảnh đường thẳng a. Cho biết đường thẳng a có song song với giao tuyến b hay không.

Đáp án:

a // (P); a // (Q); $(P) \cap  (Q) = b $=> a // b

BÀI TẬP CUỐI SGK

BT 1 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Trong phòng học của lớp, hãy nêu những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng. 

Đáp án:

Mép tường và bức tường ; trần nhà và đường chân tường ;…

BT 2 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Trong Hình 57, khi cắt bánh sinh nhật, mặt cắt và mặt khay đựng bánh lần lượt gợi nên hình ảnh mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (P); mép trên và mép dưới lát cắt lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a và b trong đó a song song với mặt phẳng (P). Cho biết hai đường thẳng a, b có song song với nhau hay không.

Đáp án:

a // (P); $a \subset  (Q)$; $(P) \cap  (Q) = b$ => a // b

BT 3 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, điểm I nằm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC. Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng (ACD).

Đáp án: 

Gọi M là trung điểm của AD.

+) BI = 2IC (gt) => $\frac{BI}{IC}=\frac{2}{1}$

+) $\triangle ADB$ có G là trọng tâm  => $\frac{BG}{GM}=\frac{2}{1}$

=> $\frac{BI}{IC}=\frac{BG}{GM}=\frac{2}{1}$=> GI // MC 

+)  IG // CM; $CM \subset  (ACD)$ => IG // (ACD).

BT 4 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với giao tuyến d của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). 

Đáp án:

+) $S \in  (SBC)$ ; $S \in  (SAD) $=> $(SBC)  \cap   (SAD) ={S} $

+) AD // BC ; $BC \subset  (SBC) $; $AD \subset  (SAD) $

·        $(SBC)  \cap   (SAD) = d$  đi qua S và // AD, BC 

+) MN là đường trung bình => MN // AD // BC => MN // d 

BT 5 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABF và ABC. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACF). 

Đáp án:

Gọi I là trung điểm của AB.

+) $\triangle ABC $có N là trọng tâm => $\frac{NC}{NI}=\frac{2}{1}$

+) $\triangle ABF$ có M là trọng tâm => $\frac{FM}{MI}=\frac{2}{1}$

   =>$\frac{NC}{NI}= \frac{FM}{MI}=\frac{2}{1} $ => MN // FC 

Mà $FC \subset  (ACF)$ => MN // ( ACF)

BT 6 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AD = 3AM. Gọi G, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, ABC. 

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 

b) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (SCD) và NG song song với mặt phẳng (SAC).

Đáp án:

a) $S \in  (SCD)$ ; $S \in  (SAB)$ => $(SCD) \cap  (SAB) ={S} $

    AB // CD ; $CD \subset  (SCD)$ ; $AB \subset  (SAB)$

   => $(SCD) \cap  (SAB) = d $ đi qua S và // AB, CD.

b) +) Gọi O là tâm của hình bình hành => $OB = OD = \frac{1}{2} BD$  

+) $\triangle ABC $ có N là trọng tâm => $\frac{BN}{BO}=\frac{2}{3}$  => $\frac{BN}{BD}=\frac{BN}{2BO}=\frac{1}{3}$

+) AD = 3.AM (gt)  => $\frac{BN}{BD} = \frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$ => MN // AB

+) MN // CD ( cùng // AB)

     Mà $CD \subset  (SCD)$ => MN // (SCD)

+) Gọi I là trung điểm của SA.

+) $\triangle ABC$ có G là trọng tâm => $\frac{BG}{BI}=\frac{2}{3}$

·        $\frac{BN}{BO}= \frac{BG}{BI}=\frac{2}{3}$=> GN // IO

     Mà $IO \subset  (SAC)$ => GN // (SAC).