1. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

HĐ 1:

a) Trong Hình 44 đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm chung.

b) Các khả năng xảy ra với số điểm chung của d và (P) là:

• Có vô số điểm chung
• Có 1 điểm chung
• Không có điểm chung.

Kết luận: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P).

• d ⊂ (P) hay (P) ⊃ d ⇔ d và (P) có hai điểm chung phân biệt trở lên.
• d ∩ (P) =A ⇔d và (P) có 1 điểm chung duy nhất là A.
• d // (P) d và (P) không có điểm chung.

Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.

Ví dụ 1 (SGK -tr.102)

Luyện tập 1

Vị trí tương đối của xà ngang với mặt sàn là đường thẳng song song với mặt phẳng.

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT

HĐ 2

a) Do a’ ⊂ (P) và a’ ⊂ (Q) nên (P) ∩ (Q) = a’.

Mà a cắt (P) tại M nên M ∈ (P)

Lại có M ∈ a, a ⊂ (Q) nên M ∈ (Q)

Suy ra M là giao điểm của (P) và (Q).

Do đó giao tuyến a’ của hai mặt phẳng đi qua điểm M.

Vậy đường thẳng a cắt đường thẳng a’ tại M.

b) Theo câu a, nếu a cắt (P) tại M thì đường thẳng a và đường thẳng a’ cắt nhau tại M.

Điều này là mâu thuẫn với giả thiết là hai đường thẳng a và a’ song song.

Do đó a không có điểm chung với (P) nên a // (P).

Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng): Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a song song với (P).

Ví dụ 2 (SGK -tr.102)

Luyện tập 2

Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác

Do đó MN // BC

Lại có BC ⊂ BCD,MN ⊄(BCD) 

Suy ra MN // (BCD).

Chứng minh tương tự: NP // CD, CD ⊂ (BCD). Suy ra NP // (BCD).

Tương tự, MP // BD mà BD ⊂ (BCD). Suy ra MP // (BCD).

HĐ 3:

a) Ta có a ∩ b = {M} nên M ∈ b

Mà b ⊂ (P), do đó M ∈ (P).

Lại có M ∈ a.

Vậy đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại M.

b) Theo câu a, nếu a cắt b tại M thì a cắt (P) tại M, điều này mâu thuẫn với giả thiết đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).

Do đó a và b không cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (Q).

Suy ra a // b.

Vậy hai đường thẳng a và b song song với nhau.

Định lí 2 (Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng): Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Ví dụ 3 (SGK -tr.103)

Luyện tập 3

(R) đi qua M và song song với BD, mà BD ⊂ (ABD) nên mặt phẳng (R) cắt (ABD) theo giao tuyến a đi qua M và song song với BD.

Gọi N là giao điểm của p và BC. Khi đó N ∈ (R).

(R) đi qua N và song song với BD, mà BD ⊂ (BCD) nên mặt phẳng (R) cắt (BCD) theo giao tuyến b đi qua N và song song với BD.

Gọi P là giao điểm của a và AD, Q là giao điểm của b và CD.

Khi đó P ∈ (R) và P ∈ (ACD) nên P là giao điểm của (R) và (ACD);

Q ∈ (R) và Q ∈ (ACD) nên Q là giao điểm của (R) và (ACD).

Vậy PQ là giao tuyến của (R ) và (ACD).

HĐ 4

a) Ta có: M ∈ b và (P) ∩ (Q) = b. Suy ra M ∈ (P).

Mà M ∈ (M, a). Do đó M là giao điểm của (P) và (M, a).

Lại có b’ = (P) ∩ (M, a)

Suy ra đường thẳng b’ đi qua M.

Tương tự ta cũng chứng minh được b’’ đi qua điểm M.

Ta có: a // (P); a ⊂ (M, a); (M, a) ∩ (P) = b’. Do đó a // b’.

Tương tự ta cũng có a // b’’.

Do đó b’ // b’’.

Mặt khác: (P) ∩ (Q) = b; (M, a) ∩ (P) = b’; (M, a) ∩ (Q) = b’’; b // b’’.

Do đó b // b’ // b’’.

Mà cả ba đường thẳng cùng đi qua điểm M nên ba đường thẳng này trùng nhau.

b) Vì a // b’ nên a // b (do b ≡ b’).

Hệ quả của định lí 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Ví dụ 4 (SGK -tr.103)

Luyện tập 4

Ta có: a // (P); a // (Q); (P) ∩ (Q) = b.

Do đó theo hệ quả định lí 2 ta có a // b.