I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

LT-VD 1 trang 60 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng...

Đáp án:

a) $u_{n}=0 \forall   n \in  N^{*}$

    $\forall  h > 0 $ bé tùy ý : $|u_{n}| <h$  => $lim 0 = 0$.

b) $u_{n}= \frac{1}{\sqrt{n}}$ $\forall n \in  N^{*}$

   $\forall   h < 0 $bé tùy ý : $|u_{n}|<h$ ⬄ $n>\frac{1}{h^{2}}$ => $\frac{1}{\sqrt{n}}=0$ .

LT-VD 2 trang 61 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng lim...

Đáp án:

$\frac{-4n+1}{n}+4=\frac{1}{n}$

$\frac{1}{n}=0$ =>  $\frac{-4n+1}{n}=-4$

LT-VD 3 trang 62 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng lim...

Đáp án:

 $0 < \frac{e}{\pi}<1$ => $(\frac{e}{\pi})^{n} =0$

II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

LT-VD 4 trang 62 sgk toán 11 cánh diều

Tính các giới hạn sau...

Đáp án:

a) $\frac{8n^{2}+n}{n^{2}}=8+\frac{1}{n}=8$

b) $\frac{\sqrt{4+n^{2}}}{n}=\sqrt{\frac{4}{n^{2}}+1}=1$

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 

LT-VD 5 trang 63 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng...

Đáp án:

$M =\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}$

LT-VD 6 trang 63 sgk toán 11 cánh diều

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng... 

Đáp án:

Thời gian đi hết quãng đường trên là :

$T=1+\frac{1}{100}+…+\frac{1}{100^{n}}+… = \frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99}$ (giờ)

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

LT-VD 7 trang 64 sgk toán 11 cánh diều

Tính $lim( - n^{3})$

Đáp án:

Với M là số dương bất kì, ta thấy : $n^{3}>M$⟺$n>\sqrt[3]{M}$ => $-n^{3} =-\infty $

LT-VD 8 trang 64 sgk toán 11 cánh diều

Chứng tỏ rằng lim...

Đáp án:

$lim(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}) = 0$

BÀI TẬP CUỐI SGK

BT 1 trang 64 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ với $u_{n} = 3 + \frac{1}{n}$; $v_{n} = 5 -\frac{2}{n^{2}}$. Tính các giới hạn sau:

a) $lim u_{n}, lim v_{n}$.

b) $lim (u_{n} + v_{n}), lim (u_{n} − v_{n}), lim (u_{n}.v_{n}), lim u_{n}/v_{n}$

Đáp án:

a) $lim u_{n}=lim 3+lim\frac{1}{n}=3$

    $lim v_{n}=lim 5-lim-\frac{2}{n^{2}}=5$

b) $lim(u_{n} + v_{n}) = 8 ;   lim(u_{n} – v_{n}) = – 2$

      $lim(u_{n}.v_{n}) = \frac{1}{5}  \frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{3}{5}$

BT 2 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

Tính các giới hạn sau…

Đáp án:

a) $(\frac{5}{2}+1\frac{1}{2n})=\frac{5}{2}$

b) $lim\frac{6+\frac{8}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{5+\frac{3}{n^{2}}}=\frac{6}{5}$

c) $\frac{lim\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^{2}}}}{lim(6+\frac{2}{n})}=\frac{1}{6}$
d) $lim2-lim(\frac{1}{3})^{n}=2-0=2$ 

e) $lim\frac{1+(\frac{2}{3})^{n}}{4}=\frac{1}{4}$

g) $\frac{lim(2+\frac{1}{n})}{lim3^{n}}=0$

BT 3 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$, với $u_{1} = \frac{2}{3}$, $q = -\frac{1}{4}$

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số. 

Đáp án:

a) $S=\frac{\frac{2}{3}}{1-(-\frac{1}{4})}=\frac{8}{15}$

b)  $1,(6) = 1 + 0,(6) + 0,06 + 0,006 + … = 1+\frac{0,6}{1-\frac{1}{10}}=\frac{5}{3}$

BT 4 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. 

a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành. 

Đáp án:

a) $S_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$ (đvdt)
b) $S=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+...+(\frac{1}{2})^{n-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ ( đvdt)

BT 5 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)

Gọi $u_{n}$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. 

a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số $(u_{n})$. 

b) Chứng minh rằng $(u_{n})$ có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn $10^{-6}$ g.

 Đáp án:

a) $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n}$
b) $lim(\frac{1}{2})^{n}=0$
c) $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n}.10^{3}<10^{-6}$ <=> $n\geq 30$ ( 30 chu kì = 720 000 năm)

BT 6 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, $C_{1}$  là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2}$,$C_{2}$ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2}$, $C_{n}$ là đường gồm $2^{n}$ nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2^{n}}$,... (Hình 4). Gọi $p_{n}$ là độ dài của $C_{n}$, $S_{n}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $C_{n}$ và đoạn thẳng AB. 

a) Tính $P_{n}$, $S_{n}$. 

b) Tìm giới hạn của các dãy số $(p_{n})$ và $(S_{n})$

Đáp án:

a) $R_{n}=\frac{AB}{2.2^{n}}=\frac{R}{2^{n}}$

$p_{n}=2^{n}.\pi.R_{n}=\pi.R$

$S_{n}=2^{n}.\pi .\frac{(R_{n})^{2}}{2}=\frac{\pi.R^{2}}{2}.(\frac{1}{2})^{n}$

b) $lim p_{n}=\pi.R$

$lim S_{n}=\frac{\pi.R^{2}}{2}.(\frac{1}{2})^{n}=0$