BT 1 trang 79 sgk toán 11 cánh diều

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và $x_{o}\in (a;b)$. Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) liên tục tại $x_{o}$ là...

Đáp án:

D 

BT 2 trang 79 sgk toán 11 cánh diều

Tính các giới hạn sau...   

Đáp án:

a)$lim\frac{(2+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{(8+\frac{5}{n^{2}})}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$                             

b) $lim\frac{\frac{4}{n}-\frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}}{-3+\frac{6}{n}-\frac{2}{n^{3}}}=0$

c) $lim\frac{\sqrt{4-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^{2}}}}{(8-\frac{5}{n})}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$                       

d) $lim(4-2.(\frac{2}{3})^{n})=4$

e) $lim\frac{4+2.(\frac{2}{5})^{n}}{6}=\frac{2}{3}$

g) $lim (2+\frac{4}{n^{3}}).lim(\frac{1}{6})^{n}=2$

BT 3 trang 79 sgk toán 11 cánh diều

Tính các giới hạn sau...   

Đáp án:

a)    $4x^{2}-5x+6  =4(-3)^{2}-5(-3)+6=57$
b) $\lim_{x\rightarrow 2}{ \frac{(x-2)(2x-1)}{x-2}}=\lim_{x\rightarrow 2}{(2x-1)}=3$
c) $\lim_{x\rightarrow 4}{\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x+4)}}=\lim_{x\rightarrow 4}{(\sqrt{x}+2)(x+4)}=\frac{1}{32}$

BT 4 trang 79 sgk toán 11 cánh diều

Tính các giới hạn sau...

Đáp án:

a) $\lim_{x\rightarrow -\infty }{\frac{6+\frac{8}{x}}{5-\frac{2}{x}}}=\frac{6}{5}$

b) $\lim_{x\rightarrow =\infty }{\frac{6+\frac{8}{x}}{5-\frac{2}{x}}}=\frac{6}{5}$

c) $\lim_{x\rightarrow -\infty }{\frac{-x\sqrt{9-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}}{x(3-\frac{2}{x})}}=-\frac{3}{3}=-1$

d) $\lim_{x\rightarrow +\infty }{\frac{x\sqrt{9-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}}{x(3-\frac{2}{x})}}=\frac{3}{3}=1$

e) $\lim_{x\rightarrow -2^{-} }{\frac{4}{2x+4}}=-\infty$

f) $\lim_{x\rightarrow -2^{+} }{\frac{4}{2x+4}}=+\infty $

BT 5 trang 79 sgk toán 11 cánh diều

Cho hàm số…

a) Với $a = 0$, $b = 1$, xét tính liên tục của hàm số tại $x = 2$.

b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại $x = 2$?

c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?

Đáp án:

a) $a = 0$ ; $b =1 $

   $f (x) = 2x$  nếu x<2         

$f(x)=4$  nếu x=2     

$f(x)=-3x+1$   nếu x>2

$\lim_{x\rightarrow 2^{-} }{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 2^{-} }{2x}=2.2=4$

$\lim_{x\rightarrow 2^{+} }{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 2^{+} }{-3x+1}=(-3).2+1=-5$

$\lim_{x\rightarrow 2^{-}}{f(x)}\neq \lim_{x\rightarrow 2^{+} }{f(x)}$

=> $f(x)$ không liên tục tại $x = 2$
b) f (2) = 4 ;  $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}{f(x)}= 4 + a$ ;  $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}{f(x)}= -6 + b$

    f(x) liên tục tại x = 2 ⬄ $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}{f(x)}=f(2)$ ⬄ $a = 0 ; b = 10$
c) TXĐ : R.

 +) $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty;2); (2;+\infty )$

 +) $f(x)$ liên tục trên R ⬄ $f(x)$ phải liên tục tại $x = 2$ ⬄ $a = 0$ ; $b = 10$     

BT 6 trang 80 sgk toán 11 cánh diều

Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 1/10 độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $S_{n}$là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính $lim S_{n}$

Đáp án:

 $u_{1}=55,8$;$u_{2}=\frac{1}{10}u_{1}$;$u_{3}=(\frac{1}{10})^{2}u_{1}$;…;$u_{n}=(\frac{1}{10})^{n-1}u_{1}$.
$S_{n} =u_{1}+u_{2}+…+u_{n}+…=\frac{55,8}{1-\frac{1}{10}}=62$( m)

BT 7 trang 80 sgk toán 11 cánh diều

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$, , ..., tam giác $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$, có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n}B_{n}C_{n}$, ... Gọi $p_{1}+ p_{2} + ... + p_{n}$ , ... và $S_{1},S_{2}, ..., S_{n}, ... $theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$, $A_{2}B_{2}C_{2}$ , ..., $A_{n}B_{n}C_{n}$, ... 

a) Tìm giới hạn của các dãy số ($p_{n}$) và $(S_{n})$. 

b) Tìm các tổng $p_{1}+ p_{2} + ... + p_{n}$ + ... và $S_{1},S_{2}, ..., S_{n}+... $

Đáp án:

a) +)  $p_{1}= p_{ABC} = 3a$ ; $p_{2}= \frac{1}{2} .3a$ ;…; $p_{n}= (\frac{1}{2})^{n-1}.3a$

$\lim_{n\rightarrow +\infty }p_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{1}{2})^{n-1}.\lim_{n\rightarrow +\infty }3a=0.3a=0$

  +) $S_{1}= S_{ABC}=\frac{1}{2}ah ; S_{2} = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{h}{2}=\frac{1}{4}.(\frac{1}{2}ah) ;…; S_{n}= (\frac{1}{4})^{n-1}. (\frac{1}{2}ah)$

$\lim_{n\rightarrow +\infty }S_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{1}{2}ah)=0.\frac{1}{2}ah=0$

b) +) $P_{n}=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$

    +) $S_{n}=\frac{\frac{1}{2}ah}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}ah$

BT 8 trang 80 sgk toán 11 cánh diều

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d′ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A′B′ của nó tới quang tâm O của thấu kính như Hình 19. Công thức thấu kính là…

Đáp án:

a) $\frac{1}{d}+\frac{1}{d’}=\frac{1}{f}$ ó $d'=\frac{df}{d-f}$
b) $\lim_{d\rightarrow f^{+}}\frac{df}{d-f}=+\infty$;
$\lim_{d\rightarrow f^{-}}\frac{df}{d-f}=-\infty$

$\lim_{d\rightarrow f}\frac{df}{d-f}=\infty$

    Ý nghĩa : Khi khoảng cách từ vật tới thấu kính càng gần với tiêu cự thì khoảng cách từ ảnh tới thấu kính càng ra xa => mắt thường không nhìn thấy.